Page 40 - 4443

Криволінійні інтеграли першого роду

∫
Приклад 5.1. Обчислити криволінійний інтеграл (x − y)dl, де AB — відрізок
AB
3
прямої y = x від точки A(0, 0) до точки B(4, 3). ,
4

Розв’язання.

√
4 ( 4
∫ ∫ ) ( ) 2 ∫
3 3 5 5
(x − y)dl = x − x 1 + dx = · xdx = .
4 4 16 2
AB 0 0

∫ √
Приклад 5.2. Обчислити криволінійний інтеграл (2x− x + y )dl, де L — дуга
2
2
L
кривої x = t cos t, y = t sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ 2π. ,
√
2
Розв’язання. Оскільки x (t) = cos t − t sin t, y (t) = sin t + t cos t, z (t) = 1, dl = t + 2dl,
′
′
′
то за формулою (5.10)
2π
∫ ∫
√ √ √
2
2
2
2
2
(2z − x + y )dl = (2t − (t cos t) + (t sin t) ) t + 2dt =
L 0
2π 2π √
∫ ∫
√ 1 2 2
2 3/2
2
2
2
= t t + 2dt = (t + 2) 1/2 d(t + 2) = ((1 + 2π ) − 1).
2 3
0 0
Застосування криволінійного інтеграла першого роду
1. Застосування в геометрії. Нехай у площині Oxy задано кусково-гладку криву AB замкне-
ну чи незамкнену і на цій кривій визначено неперервну функцію f(x, y), тоді:
а) площу P циліндричної поверхні (рис. 5.2), визначеної функцією z = f(x, y), знахо-
дять за формулою
∫
P = f(x, y)dl; (5.11)
AB
б) довжину L кривої AB визначають за формулою

∫
L = dl. (5.12)

AB
2. Застосування в механіці. Нехай вздовж неоднорідної матеріальної кривої L розподілено
масу з лінійною густиною γ(x, y), тоді:
а) маса кривої L обчислюється за формулою

∫
m = γ(x, y)dl; (5.13)

L

40