Page 39 - 4443

Обчислення криволінійних інтегралів першого роду

Обчислення криволінійних інтегралів першого роду

Формула (5.4), яка зводить криволінійний інтеграл до звичайного, є не зовсім зручною для об-
числення, бо не завжди можна легко знайти рівняння кривої AB у вигляді x = x(l), y = y(l),
де l — довжина дуги. Спростимо цю формулу.
Нехай крива AB задана рівняннями x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β], причому значення α відпо-
відає точці A, а значення β — точці B. Вважатимемо, що функції x(t) і y(t) разом з похідними
x (t) і y (t) неперервні на відрізку [α, β], а функція f(x, y) неперервна вздовж кривої AB. Для
′
′
довільної точки M(x(t); y(t)) довжину дуги l кривої AM можна розглядати як функцію пара-
метра t : l = l(t), тоді
t
∫
√
2
2
l = (x (τ)) + (y (τ)) dτ.
′
′
0
Звідси, згідно з правилом диференціювання визначеного інтеграла по верхній межі, маємо
√
2
2
dl = (x (t)) + (y (t)) dt.
′
′
Виконуючи заміну змінної l = l(t) у правій частині формули (5.4), маємо
L β
∫ ∫ ∫
√
2
2
f(x, y)dl = f(x(l), y(l))dl = f(x(t), y(t)) (x (t)) + (y (t)) dt. (5.6)
′
′
AB 0 α
Зокрема, якщо крива AB в декартових координатах задана рівнянням y = y(x), a ≤ x ≤ b,
′
де функція y(x) неперервна разом із своєю похідною y (x) на відрізку [a; b], то формула (5.6)
набирає вигляду
B
∫ ∫
√
2
f(x, y)dl = f(x, y(x)) 1 + (y (x)) dx. (5.7)
′
AB a
′
Якщо крива AB задається рівнянням x = x(y), c ≤ y ≤ d і функції x(y) i x (y) неперервні на
відрізку [c; d], то
d
∫ ∫
√
2
f(x, y)dl = f(x(y), y) 1 + (x (y)) dy. (5.8)
′
AB c
Якщо крива AB задається полярним рівнянням ρ = ρ(φ) (φ 1 ≤ φ ≤ φ 2 ), то
φ 2
∫ ∫
√
′2
f(x, y)dl = f(ρ cos φ, ρ sin φ) ρ + ρ dφ. (5.9)
2
AB φ 1
Досі ми вважали, що криволінійний інтеграл першого роду розглядається для плоскої кривої
AB. Знайдені результати легко перенести на випадок просторових кривих.
Нехай функція f(x, y, z) визначена та неперервна на просторовій кривій AB, яку задано
′
′
рівняннями x = x(t), y = y(t), z = z(t), α ≤ t ≤ β, де функції x(t), y(t), z(t) та x (t), y (t), z (t)
′
∫
неперервні на відрізку [α, β]. Тоді існує криволінійний інтеграл f(x, y, z)dl і справджується
AB
формула
β
∫ ∫
√
2
2
2
f(x, y, z)dl = f(x(t), y(t), z(t)) (x (t)) + (y (t)) + (z (t)) dt. (5.10)
′
′
′
AB α
39