Page 38 - 4443

Криволінійні інтеграли першого роду

перетворюється у складену функцію однієї змінної — параметра l : f(x, y) = f(x(l), y(l)),
0 ≤ l ≤ L. Позначимо через l i значення параметра l, яке відповідає точці A i , а через τ i — яке
відповідає точці M i , тоді сума (5.1) матиме вигляд

n
∑
f(x(τ i , y(τ i ))∆l i , (5.3)
i=1

де ∆l i = l i − l i−1 , l i−1 ≤ τ i ≤ l i . Сума (5.3) є інтегральною сумою для визначеного інтеграла
від функції f(x(l), y(l)) на відрізку [0; L]. Оскільки суми (5.1) і (5.3) рівні між собою, то рівні і
відповідні їм інтеграли:
L
∫ ∫
f(x, y)dl = f(x(l), y(l))dl. (5.4)

AB 0
Формула (5.4) не тільки зводить криволінійний інтеграл до звичайного, але й доводить існу-
вання криволінійного інтеграла для функції f(x, y), яка неперервна на кривій AB. Крім того,
з формули (5.4) випливає, що властивості криволінійного інтеграла першого роду аналогічні
властивостям визначеного інтеграла, тому ми навіть не будемо їх формулювати. Зауважимо
лише, що за означенням криволінійного інтеграла ∆l i — довжина дуги, тому завжди ∆l i > 0.
У визначеному ж інтегралі

b
∫ n
∑
f(x)dx = lim f(ξ i )∆x i (5.5)
max ∆x i →0
i=1
a
величина ∆x i може бути як додатною, так і від’ємною. У зв’язку з цим

b a
∫ ∫ ∫ ∫
f(x)dx = − f(x)dx, але f(x, y)dl = f(x, y)dl,

a b AB BA
тобто межі інтегрування в криволінійному інтегралі першого роду завжди треба брати від мен-
шої до більшої.
Розглянемо фізичний зміст криволінійного інтеграла першого роду. Припустимо, що вздовж
неоднорідної матеріальної кривої AB розподілено масу m з лінійною густиною γ(x, y), то

n ∫
∑
m = lim γ(ξ i , η i )∆l i = γ(x, y)dl.
λ→0
i=1
AB
Отже, з точки зору фізики криволінійний інтеграл першого роду від невід’ємної функції вздовж
деякої кривої дорівнює масі цієї кривої.
Криволінійний інтеграл першого роду має також і геометричний зміст.

Якщо визначений інтеграл (5.5) при f(x) ≥ 0 визначає площу криволінійної трапеції, то
криволінійний інтеграл (5.2) при f(x, y) ≥ 0 чисельно дорівнює площі частини циліндричної
поверхні, твірні якої мають довжину f(x, y) і паралельні осі Oz, а напрямна збігається з кривою
AB на площині Oxy (рис. 5.1). Зокрема, якщо AB — не крива, а відрізок [a; b], (a < b), що
лежить на осі Ox, то f(x, y) = f(x, 0) = f(x), ∆l i = ∆x i , і формула (5.2) перетворюється у
формулу (5.5) - циліндрична поверхня „вирівнюється“ і стає криволінійною трапецією, тобто
криволінійний інтеграл першого роду стає звичайним визначеним інтегралом.
Якщо покласти f(x, y) ≡ 1, то площа циліндричної поверхні чисельно дорівнюватиме дов-
∫
жині дуги AB, тому довжину L дуги AB можна знайти за формулою L = dl.
AB

38