Page 37 - 4443

Поняття криволінійного інтеграла першого роду (по довжині дуги)

Поняття криволінійного інтеграла першого роду (по довжині ду-

ги)

Нехай у площині Oxy задано гладку чи кусково-гладку криву AB (рис. 5.1) і на цій кривій
визначено обмежену функцію f(x, y).

y
6 M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aM n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a
A n−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A i−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B = A n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 1
M 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
. . . . . . .a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O A = A 0 -x

Рисунок 5.1 – Гладка крива AB

(Неперервна крива x = x(t), y = y(t) називається гладкою на відрізку α ≤ t ≤ β, якщо
функції x(t) та y(t) мають на цьому відрізку неперервні похідні x (t) та y (t), які одночасно не
′
′
дорівнюють нулю. Якщо неперервна крива складається із скінченного числа гладких кривих,
її називають кусково-гладкою.) Розіб’ємо криву AB точками A = A 0 , A 1 , . . . , A n−1 , A n = B
| }
на n довільних частин, на кожній окремій дузі A i−1 A i виберемо яку-небудь точку M i (ξ i , η i ),
i = 1, 2, . . . , n і складемо суму
n
∑
f(ξ i , η i )∆l i , (5.1)
i=1
| }
де ∆l i — довжина дуги A i−1 A i . Сума (5.1) називається інтегральною сумою для функції f(x, y)
| }
по кривій AB. Нехай λ = max ∆l i — найбільша з довжин окремих дуг A i−1 A i .
1≤i≤n

Означення 5.1. Якщо при λ → 0 інтегральні суми (5.1) мають скінченну границю,
яка не залежить від розбиття кривої AB і вибору точок M i , то цю границю назива-
ють криволінійним інтегралом першого роду (або криволінійним інтегралом по довжині дуги)
від функції f(x, y) по кривій AB і позначають ∫ f(x, y)dl. ✓
AB

Таким чином, за означенням
n
∫
∑
f(x, y)dl = lim f(ξ i , η i )∆l i . (5.2)
λ→0
i=1
AB
Якщо границя (5.2) існує, то функція f(x, y) називається інтегровною на кривій AB, сама
крива AB — контуром інтегрування, A — початковою, а B — кінцевою точками інтегрування.
Зведемо криволінійний інтеграл першого роду до визначеного інтеграла. Для цього на кри-
вій AB приймемо за параметр довжину дуги l, яка відраховується від точки A до довільної
точки кривої AB. Тоді рівняння кривої AB можна записати у параметричній формі: x = x(l),
y = y(l), де l — довжина кривої AB. При цьому функція f(x, y) визначена на кривій AB,

37