Page 36 - 4443

Криволінійні інтеграли першого роду

Доведення формули (4.4), як уже зазначалось, випливає з означення потрійного ін-
теграла:

n
y
∑
dxdydz = lim ∆V i = lim V = V.
λ→0 λ→0
G i=1

Доведення формул (4.5)-(4.10) аналогічні доведенням відповідних формул для мате-
ріальної пластини.

2
Приклад 4.3. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями z = 2 та 2z = x + y 2
2 2
(еліптичний параболоїд). Цей параболоїд проектується у круг x +y ≤ 4 при z = 2.,

Розв’язання. Скористаємося циліндричними координатами x = ρ cos φ, y = ρ sin φ ⇒ z = ρ 2 .
2
2π 2 2
2π 2 (
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ) ( )
y ρ 2 ρ 4 2
2
V = dxdydz = dφ ρdρ dz = ρ 2 − dρ = 2π ρ − = 4π.
2 8 0
G
0 0 ρ /2 0 0
2
Приклад 4.4. Знайти центр маси однорідної півкулі G, обмеженої поверхнями
√
2
z = R − x − y , z = 0. ,
2
2
Розв’язання. Координати x c = y c = 0, тому що півкуля симетрична відносно осі Oz. За третьою з
формул (4.10) при γ(x, y, z) = 1 маємо

t t
zdxdydz zdxdydz
G G
z c = t = =
dxdydz 2 πR 3
3
G
π/2 2π R
∫ ∫ ∫ 4
3 3 1 R 3
3
= sin θ cos θdθ dφ ρ dρ = · · 2π · = R.
2πR 3 2πR 3 2 4 8
0 0 0
При обчисленні інтеграла в чисельнику ми скористалися сферичними координатами. Значення інтеграла в
знаменнику записали не обчислюючи, як об’єм півкулі. Отже, центр маси даної півкулі розміщено в точці
3
(0; 0; R).
8

Тема 5. Криволінійні інтеграли першого роду

Узагальнимо поняття визначеного інтеграла на випадок, коли областю інтегрування є де-
яка крива. Такі інтеграли називаються криволінійними. Розрізняють два види криволінійних
інтегралів: криволінійні інтеграли першого роду і криволінійні інтеграли другого роду.

36