Page 35 - 4443

Деякі застосування потрійного інтеграла

Розв’язання.

x = ρ sin θ cos φ, y = ρ sin θ sin φ,
y
√ √
2
2
2
2
2
2
x + y + z dxdydz = z = ρ cos θ, x + y + z = ρ, =

2
2
2
x +y +z ≤1 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1.
2π π 1 2π π
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 1 π
3

= dφ dθ ρ sin θdθ = dφ sin θdθ = · 2π(− cos θ) = π.
4 4 0
0 0 0 0 0
Деякі застосування потрійного інтеграла
1. Обчислення об’ємів. Якщо деяке тіло є обмеженою і замкненою областю G, що має об’єм
V, то згідно з формулою (3.4)
y
V = dxdydz. (4.4)
G
3
2. Застосування в механіці. Нехай G — обмежена замкнена область простору R , яку займає
деяке матеріальне тіло з густиною γ = γ(x, y, z), де γ(x, y, z) — неперервна функція в
області G, тоді:
а) маса цього тіла
y
m = γ(x, y, z)dV ; (4.5)
G
б) моменти інерції I x , I y , I z тіла відносно координатних осей Ox, Oy, Oz відповідно
дорівнюють
y y
2
2
2
2
2
2
I x = (y + z )γdV ; I y = (x + z )γdV ; I z = (x + y )γdV ; (4.6)
G G
моменти інерції I xy , I xz , I yz тіла відносно координатних площин Oxy, Oxz, Oyz об-
числюються за формулами
y y y
2
2
2
I xy = z γdV ; I xz = y γdV ; I yz = x dV ; (4.7)
G G G
момент інерції тіла відносно початку координат
y
2
2
2
I 0 = (x + y + z )dV ; (4.8)
G
в) статичні моменти M xy , M xz , M yz тіла відносно координатних площин Oxy, Oxz,
Oyz обчислюються за формулами
y y y
M xy = zγdv; M xz = yγdV ; M yz = xγdV. (4.9)

G G G
г) координати x c , y c , z c центра маси тіла визначаються за формулами
t t t
xγdV yγdV zγdV
M yz G M xz G M xy G
x ц = = t ; y ц = = t , z ц = = t . (4.10)
m γdV m γdV m γdV
G G G

35