Page 34 - 4443

Заміна змінних та застосування потрійних інтегралів

дати неможливо. Це залежить і від області інтегрування, і від підінтегральної функції. Іноді
треба написати інтеграл в різних системах координат і лише після цього вирішити, в якій з них
обчислення буде найпростішим.

s √
2
2
Приклад 4.1. Обчислити потрійний інтеграл z x + y dxdydz, якщо область G
G
2
2
обмежена площинами y = 0, z = 0, z = 2 і циліндром x + y = 2x (рис. 4.3). ,
z

2

0 y
1

x 2

Рисунок 4.3 – Область G до прикладу 4.1

Розв’язання. Введемо циліндричні координати

x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z.

Оскільки в циліндричній системі координат x + y = ρ , а рівняння кола x + y = 2x, яке лежить в
2
2
2
2
2
основі циліндра, має вигляд ρ = 2 cos φ, то за формулою (4.2) маємо
y y
√
2
2
2
z x + y dxdydz = zρ d]rhodφdz,
G G ∗
де
π
∗
G = {0 ≤ ρ ≤ 2 cos φ, 0 ≤ φ ≤ , 0 ≤ z ≤ 2}.
2
Тому
π/2 2 cos φ 2
∫ ∫ ∫
y
√
2
z x + y dxdydz = ρ dρ zdz =
2
2
G
0 0 0
π/2 π/2 π/2

∫ 3 2 cos φ ∫ ∫
ρ 16 16
2
3
= 2 dφ = cos φdφ = (1 − sin φ)d(sin φ) =
3 3 3
0
0 0 0
( 3 ) π/2
16 sin φ 32
= sin φ − = .
3 3 9
0
t √
Приклад 4.2. Обчислити потрійний інтеграл x + y + z dxdydz. ,
2
2
2
2
2
2
x +y +z ≤1
34