Page 33 - 4443

Заміна змінної в потрійному інтегралі

z

M(r; φ; θ)

r
θ θ
z

0 . . . . . . . . . . . . . . . .
x φ ρ y
P
x y N

Рисунок 4.2 – сферична система координат

перетворення

sin θ cos φ ρ cos θ cos φ −ρ sin θ sin φ

2
J = sin θ sin φ ρ cos θ sin φ ρ sin θ cos φ = ρ sin θ.

cos θ −ρ sin θ 0
З формули (4.1) знаходимо потрійний інтеграл у сферичних координатах:
y y
2
f(x, y, z)dxdydz = f(ρ sin θ cos φ, ρ sin θ sin φ, ρ cos θ)ρ sin θdρdφ, dθ. (4.3)
G G ∗
Назва „сферичні координати“ пов’язана з тим, що координатна поверхня ρ = const є сферою.
При обчисленні потрійного інтеграла в циліндричних чи сферичних координатах область G , як
∗
правило, не будують, а межі інтегрування знаходять безпосередньо за областю G, користуючись
геометричним змістом нових координат. При цьому рівняння поверхонь z 1 (x, y) та z 2 (x, y), які
обмежують область G, записують в нових координатах.
2
2
2
Зокрема, якщо область G обмежена циліндричною поверхнею x + y = R та площинами
z = a, z = b, a < b, то всі межі інтегрування в циліндричній системі координат сталі:
2π R b
y ∫ ∫ ∫
f(x, y, z)dxdydz = f(ρ cos φ, ρ sin φ, z)dz
G 0 0 a

і не змінюються при зміні порядку інтегрування. Те саме буде у сферичних координатах у ви-
2
2
2
2
падку, коли G — куля: x + y + z ≤ R , або кульове кільце. Наприклад, якщо G — кульове
2
2
2
2
кільце з внутрішньою сферою x +y +z = r , то рівняння цієї сфери в сферичних координатах
має вигляд
2
2
2
2
(ρ sin θ cos φ) + (ρ sin θ sin φ) + (ρ cos θ) = r ,
або
2
2
2
2
2
(ρ sin θ) (cos φ + sin φ) + (ρ cos θ) = r ,
звідки ρ = r. Аналогічно ρ = R — рівняння зовнішньої сфери, тому
2π π R
∫ ∫ ∫
y
2
f(x, y, z)dxdydz = sin θdθ f(ρ sin θ cos φ, ρ sin θ sin φ, ρ cos θ)ρ dφ.
G 0 0 r
2
2
2
2
У випадку, коли G — куля (x + y + z ≤ R ), в цій формулі слід покласти r = 0. Інших
яких-небудь загальних рекомендацій, коли варто переходити до тієї чи іншої системи координат,
33