Page 32 - 4443

Заміна змінних та застосування потрійних інтегралів

Тема 4. Заміна змінних та застосування

потрійних інтегралів

Заміна змінної в потрійному інтегралі

Заміну змінної в потрійному інтегралі виконують за таким правилом: якщо обмежена замкнена
∗
область G взаємно однозначно відображається на область G за допомогою неперервно дифе-
ренційовних функцій x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) якобіан J в області G не
∗
дорівнює нулю:

∂x ∂x ∂x

∂u ∂v ∂w
J = ∂y ∂y ∂y ̸= 0
∂u ∂v ∂w
∂z ∂z ∂z
∂u ∂v ∂w
i f(x, y, z) — неперервна в G, то справедлива формула
y y
f(x, y, z)dxdydz = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))|J|dudvdw. (4.1)
G G ∗

На практиці найуживанішими є циліндричні та сферичні координати.

z
M(ρ; φ; z)

z

0 . . . . . . . . . . .
ρ y
x φ

x y

Рисунок 4.1 – Циліндрична система координат

При переході від прямокутних координат x, y, z до циліндричних ρ, φ, z (рис. 4.1), пов’яза-

 x = ρ cos φ,
них з x, y, z співвідношеннями y = ρ sin φ, 0 ≤ ρ ≤ +∞, 0 ≤ φ ≤ 2π, z ∈ R якобіан

z = z,
перетворення рівний

−ρ sin φ cos φ 0

J = ρ cos φ sin φ 0 = −ρ.

0 0 1

З формули (4.1) дістаємо потрійний інтеграл у циліндричних координатах:
y y
f(x, y, z)dxdydz = f(ρ cos φ, ρ sin φ, z)ρdρdφdz. (4.2)
G G ∗
Назва „циліндричні координати“ пов’язана з тим, що координатна поверхня ρ = const є
циліндр, прямолінійні твірні якого паралельні осі Oz.
При переході від прямокутних координат x, y, z до сферичних ρ, φ, θ (рис. 4.2), які пов’язані

 x = ρ sin θ cos φ,
з x, y, z формулами y = ρ sin θ sin φ, 0 ≤ ρ < +∞, 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ θ < π, якобіан

z = ρ cos θ,

32