Page 30 - 4443

Потрійні інтеграли

Якщо область D, наприклад, обмежена кривими y = φ 1 (x) і y = φ 2 (x) (a ≤ b), де φ 1 (x) і
φ 2 (x) — неперервні функції, тобто

G = {z 1 (x, y) ≤ z ≤ z 2 (x, y), φ 1 (x) ≤ y ≤ φ 2 (x), a ≤ x ≤ b},

s
то, переходячи від подвійного інтеграла I(x, y)dxdy до повторного, дістанемо формулу
D

b φ 2 (x) z 2 (x,y)
y ∫ ∫ ∫
f(x, y, z)dV = dx dy f(x, y, z)dz, (3.6)
G a φ 1 (x) z 1 (x,y)

яка зводить обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених
інтегралів. Порядок інтегрування може бути й іншим, тобто змінні x, y і z у правій частині
формули (3.6) за певних умов можна міняти місцями.
Якщо, наприклад, область G правильна в напрямі осі Ox :

G = {x 1 (y, z) ≤ x ≤ x 2 (y, z), ψ 1 (y) ≤ z ≤ ψ 2 (y), c ≤ y ≤ d},

де x 1 (y, z), x 2 (y, z), ψ 1 (y), ψ 2 (y) — неперервні функції, то

d ψ 2 (y) x 2 (y,z)
∫ ∫ ∫
y
f(x, y, z)dxdydz = dz f(x, y, z)dx.
G
x ψ 1 (y) x 1 (y,z)
Зокрема, якщо областю інтегрування є паралелепіпед:

G = {a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, k ≤ z ≤ l},

то
b d l
y ∫ ∫ ∫
f(x, y, z)dv = dx dy f(x, y, z)dz. (3.7)
G a c k
У цьому разі інтегрування виконується в будь-якому порядку, бо область G правильна у
напрямі всіх трьох координатних осей Ox, Oy, Oz.

t
Приклад 3.1. Обчислити потрійний інтеграл (x + y + z)dxdydz по області G
G
обмеженій площинами x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1. ,

Розв’язання. Оскільки область інтегрування G — паралелепіпед: G = {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤
z ≤ 1}, то за формулою (3.7) маємо

1 1 1 1 1 (
y ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ z 2 ) 1
(x + y + z)dxdydz = dx dy (x + y + z)dz == dx xz + yz + dy =
2
G 0 0 0 0 0 0
1
∫ 1 ∫ 1 ∫ 1 ( y 2 y ) ∫ 1 3
= dx (x + y + )dy = xy + + 1 0 dx = (x + 1)dx = .
0 2 2 2 0 2
0 0

30