Page 29 - 4443

Обчислення потрійного інтеграла

2. Потрійний інтеграл від суми кількох інтегровних функцій дорівнює сумі по-
трійних інтегралів від доданків:
y y y
(f(x, y, z) ± φ(x, y, z))dV = f(x, y, z)dV ± φ(x, y, z)dV.
G G G
t
3. Якщо для всіх (x, y, z) ∈ G f(x, y, z) ≥ 0, то f(x, y, z)dV ≥ 0.
G
4. Якщо f(x, y, z), φ(x, y, z) визначені у області G i f(x, y, z) ≥ φ(x, y, z), то
y y
f(x, y, z)dV ≥ φ(x, y, z)dV.
G G

5. (адитивність потрійного інтеграла) Якщо область інтегрування G функції
f(x, y, z) розбити на частини G 1 і G 2 , які не мають спільних внутрішніх точок,
то y y y
f(x, y, z)dV = f(x, y, z)dV + f(x, y, z)dV.
G G 1 G 2
6. (оцінка потрійного інтеграла) Якщо f(x, y, z) — неперервна у обмеженій
замкненій області G, із об’ємом V, m = min f(x, y, z), M = max f(x, y, z),
(x,y,z)∈G (x,y,z)∈G
t
то mV ≤ f(x, y, z)dV ≤ MV.
G
7. (середнє значення функції) Якщо f(x, y, z) — неперервна у обмеженій
замкненій області G із об’ємом V, то існує точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ G, що
t
f(x, y, z)dV = f(x 0 , y 0 , z 0 ) · V.
G t
Величина f(x 0 , y 0 , z 0 ) = 1 f(x, y, z)dV називається середнім значенням функції f(x, y, z)
V
G
в області G.

Обчислення потрійного інтеграла

Як і у випадку подвійних інтегралів, обчислення потрійного інтеграла зводять до обчислення
повторних, тобто до інтегрування по кожній змінній окремо.
Нехай область D обмежена знизу і зверху поверхнями z = z 1 (x, y) і z = z 2 (x, y), а з бо-
ків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі Oz. Позначимо проекцію області G на
площину Oxy через D і вважатимемо, що функції z 1 (x, y) і z 2 (x, y) неперервні в D. Якщо при
цьому область D є правильною, то область G називається правильною у напрямі осі Oz. Припу-
стимо, що кожна пряма, яка проходить через кожну внутрішню точку (x; y; 0) ∈ D паралельно
осі Oz, перетинає межу області G у точках M і N. Точку M назвемо точкою входу в область G,
а точку N — точкою виходу з області G, а їхні аплікати позначимо відповідно через z вх і z вих .
Тоді z вх = z 1 (x, y), z вих = z 2 (x, y) і для будь-якої неперервної в області G функції f(x, y, z) має
місце формула
z 2 (x,y)
y x ∫
f(x, y, z)dV = dxdy f(x, y, z)dz. (3.5)

G D
z 1 (x,y)
Зміст формули (3.5) такий. Щоб обчислити потрійний інтеграл, треба спочатку обчислити інте-
z 2 (x,y)
∫
грал f(x, y, z)dz = I(x, y) по змінній z, вважаючи x та y сталими. Нижньою межею цього
z 1 (x,y)
інтеграла є апліката точки M входу z вх = z 1 (x, y), а верхньою апліката z вих = z 2 (x, y) точки
виходу N. Внаслідок інтегрування дістанемо функцію I(x, y) від змінних x та y.

29