Page 28 - 4443

Потрійні інтеграли

яких дорівнюють ∆V i , i = 1, 2, . . . , n. У кожній частині G i візьмемо довільну точку P i (ξ i , η i , ζ i )
і утворимо суму
n
∑
f(ξ i , η i , ζ i )∆V i , (3.1)
i=1
яка називається інтегральною сумою для функції f(x, y, z) по області G. Нехай λ = max d(G i )
1≤i≤n
— найбільший з діаметрів областей G i .

Означення 3.1. Якщо інтегральна сума (3.1) при λ → 0 має скінченну границю,
яка не залежить ні від способу розбиття області G на частини G i , ні від вибору в
них точок P i , то ця границя називається потрійним інтегралом і позначається одним
із таких символів:

y y
f(x, y, z)dV, або f(x, y, z)dxdydz.
G G

Таким чином, за означенням

y ∞
∑
f(x, y, z)dxdydz = lim f(ξ i , η i , ζ i )∆V i , (3.2)
λ→0
G i=1
де f(x, y, z) — функція, інтегровна в області G; G — область інтегрування; x, y і z — змінні
інтегрування; dV (або dxdydz) — елемент об’єму.
Якщо по тілу G розподілено масу з об’ємною густиною γ = γ(x, y, z) в точці (x, y, z) ∈ G,
то маса m цього тіла знаходиться за формулою
y
m = γ(x, y, z)dxdydz. (3.3)
G
Формула (3.3) аналогічна формулі (1.8) і може розглядатись як механічний зміст потрійного
інтеграла, коли підінтегральна функція невід’ємна в області G. Якщо всюди в області покласти
f(x, y, z) = 1, то з формули (3.2) випливає формула для обчислення об’єму V тіла G :
x
V = dxdydz. (3.4)
G
Потрійний інтеграл є безпосереднім узагальненням подвійного інтеграла на тривимірний про-
стір. Теорія потрійного інтеграла аналогічна теорії подвійного інтеграла, тому в більшості ви-
падків ми обмежимося лише формулюваннями тверджень і короткими поясненнями.

Теорема 3.1.

(достатня умова інтегровності функції). Якщо функція f(x, y, z) неперервна в обме-
женій замкненій області G, то вона в цій області інтегровна.

Властивості потрійних інтегралів

1. Сталий множник можна винести за знак потрійного інтеграла:

y y
c · f(x, y, z)dV = c f(x, y, z)dV.
G G

28