Page 27 - 4443

π/2
∫
1 π
= (1 + cos 2x)dx = ;
4 4
−π/2
π/2 cos x π/2
∫ ∫ ∫
M x π
m = dx dy = cos xdx = 2; y c = = .
m 8
−π/2 0 −π/2
π
Отже, центр маси даної пластини міститься в точці (0; ).
8

Приклад 2.9. Знайти момент інерції I x пластини D, обмеженої прямими y = 0,
x + y = 1, y − x = 1, якщо густина в кожній точці пластинки дорівнює ординаті цієї
точки (рис. 2.8). ,

y − x = 1
y

y + x = 1
1

x
−1 0 1

Рисунок 2.8 – Область D до прикладу 2.9

Розв’язання. Оскільки D = {y −1 ≤ x ≤ 1−y, 0 ≤ y ≤ 1}, γ(x, y) = y, то за першою з формул
(2.14) маємо
1 1−y 1
∫ ∫ ∫
2
3
4
I x = dy y dx = (2y − 2y )dy = 0, 1.
0 y−1 0

Тема 3. Потрійні інтеграли

У попередніх двох лекціях ми розглянули поняття подвійного інтеграла від функції двох
змінних. Визначимо інтеграл від функції трьох змінних — так званий потрійний інтеграл.

Поняття потрійного інтеграла. Умови його існування та вла-

стивості

Схема побудови потрійного інтеграла така сама, як і звичайного визначеного інтеграла та по-
двійного інтеграла.
3
Нехай функція u = f(x, y, z) визначена в обмеженій замкненій області G ⊂ R . Розіб’ємо
область G сіткою поверхонь на n частин G i , які не мають спільних внутрішніх точок і об’єми

27