Page 25 - 4443

Застосування подвійного інтеграла до задач механіки

Застосування подвійного інтеграла до задач механіки

1. Маса пластини. Нехай на площині Oxy маємо матеріальну пластину, яка має форму обме-
женої замкненої області D, в кожній точці якої густина визначається неперервною фун-
кцією γ = γ(x, y). Як відомо, маса такої пластини визначається за формулою (1.8): m =
s
γ(x, y)dxdy.
D
2. Центр маси пластини. Статичні моменти. Нехай матеріальна пластина в площині Oxy
має форму області D; густина пластини в точці M(x; y) дорівнює γ(x, y), де γ(x, y) —
неперервна функція в області D. Розіб’ємо область D на частини D i (i = 1, 2, . . . , n),
виберемо в кожній з них довільну точку P i (ξ i ; η i ) і наближено вважатимемо, що маса m i
частини D i дорівнює γ(ξ i , η i )∆S i , де ∆S i — площа області D i . Коли вважати, що кожна
з цих мас зосереджена в точці P i (ξ i , η i ) ∈ D, то пластину можна розглядати як систе-
му цих матеріальних точок. Тоді координати x c та y c центра маси пластини наближено
визначатимуться рівностями
m m
∑ ∑
ξ i γ(ξ i , η i )∆S i η i γ(ξ i , η i )∆S i
i=1 i=1
x c ≈ m ; y c ≈ m .
∑ ∑
γ(ξ i , η i )∆S i γ(ξ i , η i )∆S i
i=1 i=1
Щоб знайти точні значення координат, перейдемо в цих формулах до границі при λ =
max d(D i ) → 0. Тоді інтегральні суми перейдуть у подвійні інтеграли і координати цен-
1≤i≤n
тра маси пластини визначатимуться формулами
s s
xγ(x, y)dxdy yγ(x, y)dxdy
D D
x c = s ; y c = s . (2.12)
γ(x, y)dxdy γ(x, y)dxdy
D D
Величини x x
M y = xγ(x, y)dxdy; M x = yγ(x, y)dxdy (2.13)
D D
називаються статичними моментами пластини відносно осі Oy та Ox.
Враховуючи формули (1.8), (2.12) і (2.13), координати центра мас можна записати у ви-
гляді
M y M x
x c = ; y c = .
m m
Якщо пластина однорідна, тобто має сталу густину γ 0 , то в формулах (1.8), (2.12) і (2.13)
слід покласти γ(x, y) = γ 0 .
3. Моменти інерції пластини. Відомо, що момент інерції матеріальної точки відносно де-
якої осі дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані від цієї осі, а момент інерції
системи матеріальних точок відносно однієї і тієї самої осі дорівнює сумі моментів інерції
всіх точок системи.
Нехай матеріальна пластина має форму області D у площині Oxy, а неперервна фун-
кція γ = γ(x, y) визначає густину в кожній точці цієї пластини. Розіб’ємо область D на
частини D i , площі яких дорівнюють ∆S i (i = 1, 2, . . . , n), і виберемо в кожній з цих ча-
стин довільну точку P i (ξ i , η i ). Замінимо пластину системою матеріальних точок з масами
m i = γ(ξ i , η i )∆S i . Якщо пластину розглядати як систему цих матеріальних точок, то мо-
менти інерції пластини відносно осі Oy та відносно Ox наближено визначатимуться за
формулами
n n
∑ ∑
2 2
I y ≈ ξ γ(ξ i , η i )∆S i ; I x ≈ η γ(ξ i , η i )∆S i .
i i
i=1 i=1
25