Page 26 - 4443

Заміна змінних та застосування подвійних інтегралів.

Перейшовши до границі в кожній із сум при λ = max d(D i ) → 0, дістанемо точні форму-
1≤i≤n
ли для обчислення моментів інерції розглядуваної пластини відносно координатних осей:
x x
2
2
I x = y γ(x, y)dxdy, I y = x γ(x, y)dxdy. (2.14)
D D
Знайдемо момент інерції I 0 пластини відносно початку координат. Враховуючи, що мо-
мент інерції матеріальної точки (x; y) з масою m відносно початку координат дорівнює
2
2
m(x + y ), аналогічно дістаємо, що
x
2
2
I 0 = (x + y )γ(x, y)dxdy. (2.15)
D
2
Приклад 2.7. Знайти масу пластини D, обмеженої лініями y = 0, x+y = 2, y = x ,
3
якщо густина пластини в кожній точці (x; y) дорівнює γ(x, y) = y x (рис. 2.7). ,

y

x + y
= 2
y = x 2

1

x
0 2

Рисунок 2.7 – Пластина D із прикладу 2.7

√
Розв’язання. Оскільки D = { y ≤ x ≤ 2 − y, 0 ≤ y ≤ 1}, то за формулою (1.8) маємо

1 2−y 1

x ∫ ∫ ∫ x 2 2−y

2
m = γ(x, y)dxdy = dy xy dx = y 2 =
2 √
D 0 √ y 0 y
∫ 1 ( 2 2 3 ) ∫ 1 ( 4 )
(2 − y) y y 5 y 17
2
3
= − dy = 2y − y + dy = .
2 3 2 2 120
0 0

Приклад 2.8. Знайти центр маси однорідної пластини (γ = 1), обмеженої кривою
π π
y = cos x, − ≤ x ≤ та віссю Ox. ,
2 2

Розв’язання. Внаслідок симетрії пластини відносно осі Oy маємо x c = 0. Для знаходження y c ско-
π π
ристаємось другою з формул (2.12). В даному разі D = {0 ≤ y ≤ cos x, − 2 ≤ x ≤ 2 }, тому
маємо
π/2 cos x π/2
∫ ∫ ∫
2
x cos x
M x = yγ(x, y)dxdy = dx ydy = dx =
2
D
−π/2 0 −π/2
26