Page 24 - 4443

Заміна змінних та застосування подвійних інтегралів.

y
y = x 2
y = 2

D

x
√ √
− 2 0 2

Рисунок 2.6 – Проекція циліндричної області у прикладі 2.5

Розв’язання. За формулою (1.7) маємо

√ √
2 2
∫ ∫ ∫ 2 ( ) 2
x y 2
V = f(x, y)dxdy = dx (2 − y)dy = 2y − dx =
2 2
D √ √ x
− 2 x 2 − 2
√
√
2 (
∫ 4 )
x 32 2
3
= − 2x + 2 dx = .
2 15
√
− 2
√
2
2
Приклад 2.6. Знайти частину площі конуса z = x + y , яка вирізається ци-
2
2
ліндром x + y − 2x = 0.
Розв’язання. Із рівняння конуса маємо
x y
′ ′ .
z = √ , z = √
x y
2
2
x + y 2 x + y 2
Областю D тут є круг x + y − 2x = 0 або (x − 1) + y = 1. За формулою (2.9) маємо
2
2
2
2
√
x x 2 y 2 √ x √ √
Q = 1 + + dxdy = 2 dxdy = 2S = 2π,
2
2
x + y 2 x + y 2
D D
де S = π — площа круга радіуса 1. Дійсно, перейшовши до полярної системи координат, маємо
x = ρ cos φ, y = ρ sin φ,
π π
dxdy = ρdρdφ, − ≤ φ ≤ ,
2 2
тоді
π/2 2 cos φ π/2
∫ ∫ ∫
√ √ ρ 2 2 cos φ

Q = 2 dφ ρdφ = 2 dφ =
2
0
−π/2 0 −π/2
π/2 π/2
∫ ∫
√ √ 1 √
2
= 2 2 cos φdφ = 2 2 (1 + cos 2φ)dφ = π 2.
2
−π/2 −π/2

24