Page 22 - 4443

Заміна змінних та застосування подвійних інтегралів.

проектується на площину Oxy в область D (рис. 2.4) і функції f(x, y), f (x, y), f (x, y)
′
′
x
y
неперервні в цій області, то площу Q поверхні σ знаходять за формулою
x √
2
2
Q = 1 + (f (x, y)) + (f (x, y)) dxdy. (2.9)
′
′
x y
D
z
~n
γ i
σ
σ i
Π i
M i

0 y

D
P i
D i
x

Рисунок 2.4 – Площа поверхні σ

Виведемо цю формулу. Розіб’ємо довільним способом область D на n частин D i , які не
мають спільних внутрішніх точок і площі яких дорівнюють ∆S i , i = 1, 2, . . . , n. У кожній
частині D i візьмемо точку P i (ξ i , η i ); на поверхні σ їй відповідатиме точка M i (ξ i ; η i ; ζ i ), де
ζ i = f(ξ i , η i ). Через точку M i проведемо дотичну площину Π i :

′
′
f (ξ i , η i )(x − ξ i ) + f (ξ i , η i )(y − η i ) − (z − ζ i ) = 0.
x y
На площині Π i виділимо ту її частину, яка проектується на площину Oxy в область D i .
Позначимо цю частину дотичної площини через σ i , а її площу — через ∆σ i . Складемо
суму
n
∑
∆σ i . (2.10)
i=1
Границю Q суми (2.10), коли найбільший з діаметрів областей D i прямує до нуля, назвемо
площею поверхні (2.8), тобто за означенням покладемо

n
∑
Q = lim ∆σ i . (2.11)
λ→0
i=1
Обчислимо цю границю. Оскільки область σ i , яка має площу ∆σ i , проектується в область
D i з площею ∆S i , то ∆S i = ∆σ l cos γ i , де γ i — кут між площинами Π i та Oxy (рис. 2.4),
тому ∆σ i = ∆S i .
cos γ i
−→
Але гострий кут γ i дорівнює куту між віссю Oz і нормаллю n до дотичної площини,
−→ −→
′
′
тобто куту між векторами k = (0; 0; 1) та n = (−f (ξ i , η i ); −f (ξ i , η i ); 1). За формулою
y
x
для обчислення напрямних косинусів
1
.
cos γ i = √
2
2
(f (ξ i , η i )) + (f (ξ i , η i )) + 1
′
′
x y
22