Page 21 - 4443

Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії

2
2
2
y = 2x, x + y = 4x (рис. 2.3). ,
y

D
x
0 4
1

Рисунок 2.3 – Область інтегрування D до прикладу 2.3

Розв’язання. Знайдемо рівняння межі області D в полярних координатах:

2
2
2
2
ρ cos φ + ρ sin φ = 2ρ cos φ,
звідси ρ = 2 cos φ — полярне рівняння малого кола; аналогічно знаходимо, що ρ = 4 cos φ — полярне
π
π
рівняння великого кола. Якщо кут φ змінюватиметься в межах від − до , то змінна ρ матиме межі
2
2
від 2 cos φ до 4 cos φ. Отже, за формулою (2.6) маємо
π/2 4 cos φ π/2
∫ ∫ ∫
x 3 4 cos φ
√ 2 ρ
2
2
x + y dxdy = dφ ρ dφ = dφ =
3
D 2 cos φ
−π/2 2 cos φ −π/2
π/3 π/2
∫ ∫
56 56
2
3
= cos φdφ = (1 − sin φ)d(sin φ) =
3 2
−π/3 −π/2
( 3 ) π/2
56 sin φ 224
= sin φ − = .
3 3 9
−π/2
Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії

1. Площа плоскої фігури. Якщо в площині Oxy задана фігура, що має форму обмеженої
замкненої області D, то площа S цієї фігури знаходиться, як відомо, за формулою (1.9):
x
S = dxdy.
D

2. Об’єм тіла. Об’єм циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі Oz і яке обмежене
знизу областю D площини Oxy, а зверху — поверхнею z = f(x, y), де функція f(x, y)
s
неперервна та невід’ємна в області D, знаходиться за формулою (1.7): V = f(x, y)dxdy.
D
3. Площа поверхні. Якщо поверхня σ, задана рівнянням

z = f(x, y), (2.8)

21