Page 20 - 4443

Заміна змінних та застосування подвійних інтегралів.

v
1 2
= =
u u v = 3

D ∗

v = 1

u
0 1 2

Рисунок 2.2 – Область інтегрування D до прикладу 2.1
∗

Таким чином, область D (паралелограм) переходить у системі O 1 uv в прямокутник D . Далі маємо
∗
{ {
1
x + y = u; x = (u + v);
⇔ 3
1
2x − y = v; y = (2u − v);
3
∂x ∂x
1 1 1 1
J(u, v) = ∂u ∂v = 3 3 = − , |J(u, v)| = .
∂y ∂y 2 − 1 3 3
∂u ∂v 3 3
За формулою (2.4)

2 3
∫ ∫
x x 1 1 1 1
(6x − y)dxdy = (6 · (u + v) − 3 · (2u − v)) dudv = du 3vdv = 4.
3 3 3 3
D D ∗
1 1

s √
2
2
Приклад 2.2. Обчислити 4 − x − y dxdy, якщо D — круг радіуса R = 2 з
D
центром у початку координат. ,

Розв’язання. Межа області D в полярних координатах задається рівнянням

2
2
2
2
ρ cos φ + ρ sin φ = 4
або ρ = 2, тому за формулою (2.7) маємо
2π 2
∫ ∫
x
√ √
2
2
4 − (x + y )dxdy = dφ 4 − ρ ρdρ =
2
D
0 0
2π 2 2π

∫ ∫ ∫ 2 3/2 2
1 2 1/2 2 1 2(4 − ρ ) 16π
= − dφ (4 − ρ ) d(1 − ρ ) = − dφ = .
2 2 3 0 3
0 0 0
s √
2
2
2
Приклад 2.3. Обчислити x + y dxdy, якщо область D обмежена колами x +
D
20