Page 19 - 4443

Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах

Тому формулу (2.5) можна записати у вигляді

β ρ 2 (φ)
∫ ∫
x
f(x, y)dxdy = dφ f(ρ cos φ, ρ sin φ)ρdρ. (2.6)
D α ρ 1 (φ)

Зауваження 2.3. Якщо область D охоплює початок координат, тобто точка

O(0; 0) є внутрішньою точкою області D, то

2π ρ(φ)
∫ ∫
x
f(x, y)dxdy = dφ f(ρ cos φ, ρ sin φ)ρdρ, (2.7)
D 0 0

де ρ(φ) — полярне рівняння межі області D.

s
Приклад 2.1. Обчислити інтеграл (6x−3y)dxdy, якщо область D — паралелограм,
D
обмежений прямими x + y = 1, x + y = 2, 2x − y = 1, 2x − y = 3 (рис. 2.1). ,

y
x + y
= 2
1 3
= =
x + y
2x − y 2x − y
= 1

D x
0

Рисунок 2.1 – Область інтегрування D до прикладу 2.1

Розв’язання. Безпосереднє обчислення цього інтеграла надто громіздке, тому що як в напрямі осі Ox,
так і в напрямі осі Oy область O треба спочатку розбити на три області, а потім обчислювати три
подвійних інтеграли.
Виконаємо таку заміну змінних: x+y=u, 2x−y=v, тоді прямі x+y = 1 та x+y = 2 в системі
Oxy переходять в прямі u= 1 та u= 2 в системі O 1 uv (рис. 2.2), а прямі 2x − y = 1 та 2x − y = 3
відповідно в прямі v = 1 та v = 3.

19