Page 18 - 4443

Заміна змінних та застосування подвійних інтегралів.

Згідно з формулами (2.2), кожній точці M(x; y) ∈ D ставиться у відповідність деяка точка
∗
M (u; v) на координатній площині з прямокутними координатами u і v. Нехай множина всіх
точок M (u; v) утворює обмежену замкнену область D . Формули (2.1) називаються формулами
∗
∗
перетворення координат, а формули (2.2) — формулами оберненого перетворення.
Справедлива така теорема.

Теорема 2.1.

Якщо перетворення (2.2) переводить замкнену обмежену область D в замкнену
обмежену область D і є взаємно однозначним, а функції (2.1) мають в області D ∗
∗
неперервні частинні похідні першого порядку i відмінний від нуля визначник

∂x ∂x

J(u, v) = ∂u ∂v , (2.3)
∂y
∂y
∂u ∂v
функція f(x, y) неперервна в області D, то справедлива така формула заміни змінних
x x
f(x, y)dxdy = f(x(u, v), y(u, v))|J(u, v)|dudv. (2.4)
⋆
D D ∗

Функціональний визначник (2.3) називається визначником Якобі або якобіаном.
Таким чином, виконуючи заміну змінних в інтегралі I за формулами (2.1), ми маємо елемент
площі dxdy в координатах x, y замінити елементом площі |J(u, v)|dudv в координатах u, v і
стару область інтегрування D замінити відповідною їй областю D .
∗
Розглянемо заміну декартових координат x, y полярними ρ, φ за відомими формулами x =
ρ cos φ, y = ρ sin φ. Оскільки

cos φ −ρ sin φ
J(ρ, φ) = = ρ, |J(ρ, φ)| = ρ,
sin φ ρ cos φ

то формула (2.4) набирає вигляду

x x
f(x, y)dxdy = f(ρ cos φ, ρ sin φ)ρdρdφ, (2.5)
D D ∗

∗
де область D задана в декартовій системі координат Oxy, а D — відповідна їй область в по-
лярній системі координат.
Зауваження 2.1. У багатьох випадках формулу (2.5) доцільно застосовувати тоді,
коли підінтегральна функція або рівняння границі області D містить суму x + y , бо ця
2
2
сума в полярних координатах має досить простий вигляд:

2
2
2
2
2
2
2
x + y = ρ cos φ + ρ sin φ = ρ .
Зауваження 2.2. Якщо область D обмежена променями, які утворюють з полярною
віссю кути α та β (α < β) і кривими ρ = ρ (φ) та ρ = ρ (φ) (ρ (φ) ≤ ρ (φ)), то
1
2
1
2
полярні координати області D змінюються в межах ρ (φ) ≤ ρ ≤ ρ (φ), α ≤ φ ≤ β.
∗
2
1
18