Page 17 - 4443

Приклад 1.4. Змінити порядок інтегрування у повторному інтегралі

1 e y
∫ ∫
I = dy f(x, y)dx.

0 0

y

y = ln x
y = 1

D D 2
D 11
x
0 1 e

Рисунок 1.10 – Область інтегрування до прикладу 1.4

Розв’язання. Тут потрібно перейти від повторного інтеграла виду (1.12) до інтеграла виду (1.11).
Область інтегрування D обмежена лініями: y = 0, y = 1, x = 0, x = e або y = ln x (рис. 1.10).
y
Якщо внутрішнє інтегрування провести по y, а зовнішнє — по x, то задану область D треба розглядати як
правильну в напрямі осі Oy. Оскільки лінія, на якій містяться точки входу в область, задана двома різними
рівняннями, то дану область треба розбити на дві частини D 1 і D 2 .
Маємо

D 1 = {0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1};
D 2 = {ln x ≤ y ≤ 1, 1 ≤ x ≤ e};
1 1 e 1
∫ ∫ ∫ ∫
I = dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy.

0 0 1 ln x

Тема 2. Заміна змінних та застосування

подвійних інтегралів.

Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у по-

лярних координатах

Нехай функція f(x, y) неперервна в деякій замкненій і обмеженій області D, тоді існує інтеграл
s
I = f(x, y)dxdy. Припустимо, що за допомогою формул
D
x = x(u, v), y = y(u, v) (2.1)

ми переходимо в інтегралі I до нових змінних u та v. Вважатимемо, що з формул (2.1) одно-
значно можна визначити u та v :

u = u(x, y), v = v(x, y). (2.2)

17