Page 16 - 4443

Подвійні інтеграли

Обчислимо цей інтеграл іншим способом, користуючись формулою (1.12). Область D є правильною в напрямі
осі Ox, але її треба розбити на дві частини D 1 і D 2 , бо лінія OAB, на якій містяться точки виходу з
області, задається двома різними рівняннями. Маємо

D 1 = {0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1};
√
D 2 = {0 ≤ x ≤ 2 − y, 1 ≤ y ≤ 2};
∫
x x
2
2
2
xy dxdy = xy dxdy + xy dxdy =
D D 2
D 1
√
1 y 2 2−y 1

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x 2 y

2
2
= dy xy dx + dy xy dx = y 2 dy+
2
0 0 1 0 0 0
2 √ 1 2
∫ 2 2−y ∫ 4 ∫ 2
x y (2 − y)y 1 11 67
+ y 2 dy = dy + dy = + = .
2 0 2 2 10 24 120
1 0 1
Очевидно, при обчисленні цього інтеграла вигідніше користуватися формулою (1.11).
s y
Приклад 1.3. Обчислити подвійний інтеграл: e x dxdy, якщо область D обмежена
D
прямими y = x, y = 0, x = 1. ,

y
y = x

D
y = 0 x
0
x = 1
Рисунок 1.9 – Область інтегрування до прикладу 1.3

Розв’язання. Область інтегрування D зображено на (рис. 1.9). Ця область правильна в обох напрямах,
але обчислити даний інтеграл можна лише за формулою (1.11).
∫ x
Якби ми застосували формулу (1.12), то нам треба було б обчислювати інтеграл e dy, який, як
y
відомо, в елементарних функціях не обчислюється. Отже,
1 x 1 1
∫ ∫ ∫ x ∫
x
y y y e − 1
e x dydx = dx e x dy = xe x dx = x(e − 1)dx = .
2
D 0
0 0 0 0

16