Page 15 - 4443

Обчислення подвійного інтеграла

Розв’язання. Область інтегрування D зображено на (рис. 1.7). Ця область правильна у напрямі як осі Oy,
так і осі Ox. Для обчислення даного інтеграла можна користуватись як формулою (1.11), так і формулою
(1.12), бо функція f(x, y) неперервна в усій площині Oxy і, зокрема, в області D.
Область D правильна в напрямі осі Oy, тому за формулою (1.11) маємо

√
1 x 1 √
∫ ∫ ∫ x
x

(x + 2y)dxdy = dx (x + 2y)dy = (xy + y ) dx =
2

D x 2
0 x 2 0
1
∫
9
4
3
= (x 3/2 + x − x − x )dx = .
20
0
s
2
Приклад 1.2. Обчислити подвійний інтеграл: xy dxdy, якщо область D місти-
D
2
ться в першій чверті і обмежена лініями x = 0, y = x, y = 2 − x . ,

y

B

D 2
A
0
= D 1
x
0 1 x
y = 2 − x 2

y = x

Рисунок 1.8 – Область інтегрування до прикладу 1.2

Розв’язання. Область інтегрування D зображено на (рис. 1.8). Оскільки функція f(x, y) = xy непе-
2
рервна в даній області, то для обчислення заданого подвійного інтеграла можна скористатися як формулою
(1.11), так і формулою (1.12).
Область правильна в напрямі осі Oy, тобто

2
D = {x ≤ y ≤ 2 − x , 0 ≤ x ≤ 1},
тоді за формулою (1.11) маємо

1 2−x 2 1
∫ ∫ ∫ 2
x y 3 2−x

2
2
xy dxdy = dx xy dxdy = x =
3
D 0 x 0 x
1 1 1
∫ ∫ ∫
1 1 1 67
2 3
4
2 3
2
4
= (x(2 − x ) − x )dx = − (2 − x ) d(2 − x ) − x dx = .
3 6 3 120
0 0 0
15