Page 13 - 4443

Обчислення подвійного інтеграла

Тут внутрішнім є інтеграл по змінній x. Обчислюючи його в межах від ψ 1 (y) до ψ 2 (y)
(при цьому y вважається сталою), дістанемо деяку функцію від однієї змінної y. Інтегруючи
потім цю функцію в межах відc до d, дістанемо значення подвійного інтеграла.

y

d

D x = ψ 2 (y)
x = ψ 1 (y)
y

c

x
0
x вх x вих
Рисунок 1.5 – Правильна область у напрямі осі Ox

Зауваження 1.3. Якщо область D правильна в обох напрямах, то подвійний інте-

грал можна обчислювати як за формулою (1.11), так і за формулою (1.12). Результати
матимемо однакові.

Зауваження 1.4. Якщо область D не є правильною ні в напрямі осі Ox, ні в напрямі
осі Oy (тобто існують вертикальні і горизонтальні прямі, які, проходячи через внутрішні
точки області, перетинають її межу більше, ніж у двох точках), то таку область необхідно
розбити на частини, кожна з яких є правильною областю у напрямі Ox чи Oy. Обчислюючи

подвійні інтеграли по правильних областях і додаючи результати (властивість адитивно-
сті), знаходимо шуканий подвійний інтеграл по області D.

2
Зокрема, для випадку, зображеного на (рис. 1.6) (область D обмежена еліпсами x + y 4 2 = 1,
3
x 2 + y 2 = 1 і прямою x = ), при інтегруванні в напрямі осі Oy маємо
4 16 4
x x x x
f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy.
D D 1 D 2 D 3

У напрямі осі Ox тут потрібно було б обчислити повторні інтеграли по семи областях.

Зауваження 1.5. Повторні інтеграли в правих частинах формули (1.11) і (1.12)
називаються інтегралами з різним порядком інтегрування. Щоб змінити порядок інтегру-
вання, потрібно від формули (1.11) перейти до формули (1.12), або навпаки.

У кожному конкретному випадку, залежно від виду області D та підінтегральної функції
f(x, y), треба обирати той порядок інтегрування, який приводить до простіших обчислень.

13