Page 12 - 4443

Подвійні інтеграли

Проведемо через точку (x; 0), де x ∈ (a; b), пряму, паралельну осі Oy. Ця пряма перетинає
криві φ 1 (x) та φ 2 (x) в точках c 1 і c 2 , які називатимемо відповідно точкою входу в область D і
точкою виходу з області D. Ординати цих точок позначимо відповідно y вх та y вих , тоді y вх =
φ 1 (x), y вх = φ 2 (x).
Визначена таким чином область називається правильною в напрямі осі Oy. Інакше кажучи,
область D називається правильною в напрямі осі Oy, якщо довільна пряма, яка проходить через
внутрішню точку області D паралельно осі Oy, перетинає межу області не більше, ніж у двох
точках.
Знайдемо тепер площу S(x). Для цього проведемо через точку (x; 0; 0) площину, перпенди-
кулярну осі Ox (рис. 1.3). У перерізі цієї площини і циліндричного тіла утворюється трапеція
c 1 M 1 M 2 c 2 . Апліката z = f(x, y) точки лінії M 1 M 2 при фіксованому x є функцією лише y, при-

чому y змінюється в межах від y вх = φ 1 (x), до y вих = φ 2 (x). Площа S(x) трапеції c 1 M 1 M 2 c 2
дорівнює визначеному інтегралу
φ 2 (x)
y вих
∫ ∫
S(x) = zdy = f(x, y)dy.
y вх φ 1 (x)
Підставивши знайдене значення S(x) у формулу (1.10) і враховуючи формулу (1.7), дістанемо
 
b φ 2 (x)
∫ ∫
x

f(x, y)dxdy =  f(x, y)dy dx,

D
a φ 1 (x)
або в зручнішій формі
b φ 2 (x)
x ∫ ∫
f(x, y)dxdy = dx f(x, y)dy. (1.11)
D a φ 1 (x)
Це і є шукана формула для обчислення подвійного інтеграла. Праву частину формули (1.11)
називають повторним інтегралом від функції f(x, y) по області D. У повторному інтегралі (1.11)
інтегрування виконується спочатку по змінній y (при цьому x вважається сталою), а потім по
змінній x. Інтеграл по змінній y називають внутрішнім, а по змінній x — зовнішнім. У результаті
обчислення внутрішнього інтеграла (в межах від φ 1 (x) до φ 2 (x)) одержуємо певну функцію від
однієї змінної x. Інтегруючи цю функцію в межах від a до b, тобто обчислюючи зовнішній
інтеграл, дістаємо деяке число — значення подвійного інтеграла.

Зауваження 1.1. Наведені геометричні міркування при одержанні формули (1.11)

можливі у випадку, коли f(x, y) ≥ 0, (x, y) ∈ D.

Проте формула (1.11) залишається справедливою і в загальному випадку. Строге доведення
цієї формули ми опускаємо.

Зауваження 1.2. Якщо область D обмежена двома неперервними кривими

x = ψ 1 (y), x = ψ 2 (y) і двома прямими y = c, y = d (c < d), причому ψ 1 (y) ≤ ψ 2 (y)
для всіх y ∈ (c; d), тобто якщо область D правильна в напрямі осі Ox (рис. 1.5), то

справедлива формула

d ψ 2 (y)
∫ ∫
x
f(x, y)dxdy = f(x, y)dx. (1.12)
D
c ψ 1 (y)

12