Page 11 - 4443

Обчислення подвійного інтеграла

Обчислення подвійного інтеграла

Обчислення подвійного інтеграла за формулою (1.6), як границі інтегральної суми, так само
як і у випадку визначеного інтеграла, пов’язане із значними труднощами. Щоб уникнути їх,
обчислення подвійного інтеграла зводять до обчислення так званого повторного інтеграла —
двох звичайних визначених інтегралів.
Покажемо, як це робиться. Припустимо, що при (x; y) ∈ D функція f(x, y) ≥ 0. Тоді, згідно
з формулою (1.7), подвійний інтеграл виражає об’єм циліндричного тіла (рис. 1.3) з основою
D, обмеженого зверху поверхнею z = f(x, y). Обчислимо цей об’єм за допомогою методу па-
ралельних перерізів:
b
∫
V = S(x)dx, (1.10)
a
де S(x) — площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі Ox, а x = a i x = b —
рівняння площин, які обмежують дане тіло. Перед тим, як обчислювати площу зробимо певні
припущення відносно області D.

z

M 1
M 2

S(x)
y
0
a
x C 2
ϕ 2 (x) C 1
D ϕ 2 (x)
b
x

Рисунок 1.3 – Об’єм циліндричного тіла

Припустимо спочатку, що область інтегрування D обмежена двома неперервними кривими
y = φ 1 (x) та y = φ 2 (x) і двома прямими x = a та x = b, причому φ 1 (x) ≤ φ 2 (x) для всіх
x ∈ (a; b) (рис. 1.4).

y

ϕ 2 (x)
C 2
y вих

D

y вх
C 1
ϕ 1 (x)
x
0
a x b
Рисунок 1.4 – Перерізи циліндричного тіла

11