Page 10 - 4443

Подвійні інтеграли

бачимо, що конструктивно ці означення цілком аналогічні: в обох випадках розглядається деяка
функція f, але в першому випадку це функція однієї змінної, визначена на одновимірній області
– відрізку [a; b] ⊂ R 1 , а в другому — це функція двох змінних, визначена у двовимірній області
2
D ⊂ R . В обох випадках область визначення розбивається на частини, в кожній з яких береться
довільна точка і в ній знаходиться значення функції. Після цього знайдене значення функції
множиться на міру відповідної частини області визначення. У випадку однієї змінної такою

мірою була довжина ∆x i відрізка [x i ; x i+1 ], а у випадку двох змінних — площа ∆S i області D i ⊂
D. Наступні кроки знову однакові: утворюються інтегральні суми і знаходяться їхні границі,
коли міра частин області визначення прямує до нуля. Пізніше ми побачимо, що за цією самою
схемою будується і потрійний інтеграл, але мірою області там є об’єм.
У зв’язку з цим, властивості подвійного інтеграла аналогічні відповідним властивостям ви-
значеного інтеграла. Сформулюємо ці властивості.
1. Сталий множник можна винести за знак подвійного інтеграла:

x x
Cf(x, y)dxdy = C f(x, y)dxdy, C = const.
D D
2. Подвійний інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі подвійних інтегра-
лів від цих функцій:

x x x
(f(x, y) ± g(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy ± g(x, ydxdy.
D D D

Ця властивість має місце для суми довільного скінченного числа функцій.
s
3. Якщо в області D функція f(x, y) ≥ 0, то f(x, y)dxdy ≥ 0.
D
4. Якщо функції f(x, y) і g(x, y) визначені в одній і тій самій області D і f(x, y) ≥
s s
g(x, y), то f(x, y)dxdy ≥ g(x, y)dxdy.
D D
5. (адитивність подвійного інтеграла) Якщо область інтегрування функції f (x,
y) розбити на області D 1 i D 2 , які не мають спільних внутрішніх точок, то

∫
x x
f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy.
D D 1
D 2
Ця властивість називається адитивністю подвійного інтеграла і справедлива для
довільного скінченного числа областей, які складають область D і не ма-
ють спільних внутрішніх точок.
6. (оцінка подвійного інтеграла) Якщо функція неперервна в обмеженій за-
мкненій області D, яка має площу S, то

x
mS ≤ f(x, y)dxdy ≤ MS,
D

де m і M — відповідно найменше і найбільше значення підінтегральної фун-
кції в області D.
7. (середнє значення функції) Якщо функція f(x, y) неперервна в замкненій
обмеженій області D, яка має площу S, то в цій області існує така точка
s
(x 0 ; y 0 ), що f(x, y)dxdy = f(x 0 , y 0 ) · S.
D s
Величину f(x 0 , y 0 ) = 1 f(x, y)dxdy називають середнім значенням функції f(x, y) в області
S
D
D.

10