Page 8 - 4443

Подвійні інтеграли

найбільший з діаметрів областей D i : λ = max d(D i ). Тоді природно об’єм даного тіла визна-
1≤i≤n
чити як границю суми (1.1) при λ → 0 :
n
∑
V = lim V n = lim f(ξ i , η i )∆S i . (1.2)
λ→0 λ→0
i=1
2. Задача про масу пластини. Нехай маємо плоску неоднорідну матеріальну пластину,
формою якої є область D (рис. 1.2). В області D задана неперервна функція γ = γ(x, y), яка
визначає густину пластини в точці (x; y). Знайдемо масу m пластини. Для цього довільним
способом розіб’ємо область D на частини D i , які не мають спільних внутрішніх точок і площі
яких дорівнюють ∆S i , i = 1, 2, . . . , n.

y
D

D i
P i

0 x

Рисунок 1.2 – Задача про масу пластини

У кожній області D i візьмемо яку-небудь точку P i (ξ i , η i ) і знайдемо густину в цій точці:
γ(P i ) = γ(ξ i , η i ).
Якщо розміри області D i достатньо малі, то густина в кожній точці (x; y) ∈ D i мало відрі-
знятиметься від значення γ(P i ). Тоді добуток γ(P i )∆S i наближено визначає масу тієї частини
пластини, яка займає область D i , а сума
n
∑
m n = γ(ξ i , η i ) = ∆S i (1.3)
i=1
є наближеним значенням маси m всієї пластини. Точне значення маси дістанемо як границю
суми (1.3) при λ → 0 :
n
∑
m = lim m n = lim γ(ξ i , η i )∆S i . (1.4)
λ→0 λ→0
i=1
Таким чином, різні за змістом задачі ми звели до знаходження границь (1.2) і (1.4) одного й
того самого виду. Можна навести ще ряд задач з фізики і техніки, розв’язання яких приводить
до обчислення подібних границь. У зв’язку з цим виникає потреба у вивченні властивостей цих
границь, незалежно від змісту тієї чи іншої задачі. Кожна така границя називається подвійним
інтегралом. Дамо точні означення.

Поняття подвійного інтеграла. Умови його існування та власти-

вості

2
Нехай функція z = f(x, y) визначена в замкненій обмеженій області D ⊂ R . Вважатимемо,
що межа області D складається із скінченного числа неперервних кривих, кожна з яких визна-

8