Page 9 - 4443

Поняття подвійного інтеграла. Умови його існування та властивості

чається функцією виду y = f(x) або x = φ(y).
Розіб’ємо область D на n частин D i , які не мають спільних внутрішніх точок і площі яких
дорівнюють ∆S i , i = 1, 2, . . . , n. У кожній області D i візьмемо довільну точку P i (ξ i ; η i ) і утво-
римо суму
n
∑
I n = f(ξ i , η i )∆S i . (1.5)
i=1
яку назвемо інтегральною сумою для функції z = f(x, y) по області D. Нехай λ = max d(D i )
1≤i≤n
— найбільший з діаметрів областей D i .

Означення 1.1. Якщо інтегральна сума (1.5) при λ → 0 має скінченну границю,
яка не залежить ні від способу розбиття області D на частини — області D i , ні від
вибору точок P i в них, то ця границя називається подвійним інтегралом і позначається
одним із таких символів:

x x
f(x, y)dS або f(x, y)dxdy.
D D

Таким чином, за означенням
n
x ∑
f(x, y)dxdy = lim f(ξ i , η i )∆S i . (1.6)
λ→0
D i=1
У цьому випадку функція f(x, y) називається інтегровною в області D; D — областю інтегру-
вання; x, y — змінними інтегрування; dS (або dxdy) — елементом площ.
Звернемося до розглянутих вище задач. Якщо границі в рівностях (1.2) і (1.4) існують, то з
цих рівностей і формули (1.6) дістаємо формули для обчислення об’єму циліндричного тіла
x
V = f(x, y)dxdy (1.7)

D
та маси пластинки x
m = γ(x, y)dxdy. (1.8)
D
Якщо у формулі (1.8) покласти f(x, y) ≡ 1, (x, y) ∈ D, то дістанемо формулу для обчисле-
ння площі S області D :
x
S = dxdy. (1.9)
D
Рівності (1.7) i (1.8) розглядають відповідно як геометричний та механічний зміст подвій-
ного інтеграла, якщо підінтегральна функція невід’ємна в області D.

Теорема 1.1.

(достатня умова інтегровності функції) Якщо функція f(x, y) неперервна в замкненій
обмеженій області D, то вона інтегровна в цій області. ⋆

Наявні інші умови існування подвійного інтеграла, але надалі ми вважатимемо, що підінте-
гральна функція f(x, y) в області інтегрування D є неперервною.
Порівнюючи означення подвійного інтеграла (1.6) та означення визначеного інтеграла
b
∫ n
∑
f(x)dx = lim f(ξ i )∆x i ,
λ→0
i=1
a
9