Page 127 - 4443

Інтеграл Фур’є для парних і непарних функцій

∞ ∞
∫ ∫
1 sin α(1 − x) + sin αx 2 1 α α(1 − 2x)
= dα = sin cos dα.
π α π α 2 2
0 0
У точках розриву x = 0 та x = 1 інтеграл Фур’є дорівнює

f(x − 0) + f(x + 0) 1
= .
2 2

Таким чином, знайдений інтеграл Фур’є зображає дану функцію на всій числовій осі. Зокрема, якщо x = 0,
то дістанемо
∞ ∞
∫ ∫
1 2 1 α α 1 sin α
f(0) = = sin cos dα = dα,
2 π α 2 2 π α
0 0
звідки
∞
∫
sin α π
dα = .
α 2
0
Ми обчислили інтеграл, який за формулою Ньютона - Лейбніца не обчислюється, бо первісна від функції
sin x не виражається через елементарні функції.
x

Інтеграл Фур’є для парних і непарних функцій

Припустимо, що функція f(x) парна, тоді функція f(t) cos αt також парна, а функція f(t) sin αt
непарна. Тому формула (18.5) набере вигляду

 
∞ ∞
∫ ∫
2
f(x) =  f(t) cos αtdt  cos αxdα. (18.8)
π
0 0
Аналогічно, якщо f(x) непарна функція, то
 
∞ ∞
∫ ∫
2
f(x) =  f(t) sin αtdt  sin αxdα. (18.9)
π
0 0
Скориставшись виразами (18.6), запишемо інтеграли (18.8) і (18.9) у вигляді:
∞
∫
f(x) = A(α) cos αxdα; (18.10)

0
∞
∫
f(x) = B(α) sin αxdα. (18.11)
0
Таким чином, якщо f(x) — парна функція, то вона зображається інтегралом Фур’є вигляду
(18.8) або (18.10). Якщо ж f(x) непарна функція, то її зображення інтегралом Фур’є має вигляд
(18.9) або (18.11).
Коли функція f(x) задана лише на проміжку (0; +∞), то її можна продовжити на проміжок
(−∞; +∞) різними способами, зокрема парним або непарним. Це означає, що таку функцію
можна зобразити різними інтегралами Фур’є, зокрема інтегралами (18.8) або (18.9).

127