Page 123 - 4443

Ряд Фур’є за ортогональною системою функцій

Побудуємо систему {P n (x)} ортогональних многочленів. Розглянемо систему функцій

2
n
1, x, x , . . . , x , . . . , −1 ≤ x ≤ 1. (17.34)
Перші дві функції ортогональні на відрізку [−1; 1] :

1

∫ 2 1
x
1 · xdx = = 0.
2
−1 −1
2
тому покладемо P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x. Проте x вже не ортогональний 1, тому що
1

∫ 3 1
x 2
2
1 · x dx = = ̸= 0.
3 −1 3
−1
2
Отже, P 2 (x) ̸= x ; візьмемо P 2 (x) як лінійну комбінацію перших трьох функцій системи (17.34)
2
2
1, x, x , тобто покладемо P 2 (x) = ax +bx+c. Підберемо коефіцієнти a, b, c так, щоб многочлен
P 2 (x) був ортогональним до многочленів P 0 (x) і P 1 (x), тобто
1 1
∫ ∫
P 2 (x)P 0 (x)dx = 0, P 2 (x)P 1 (x)dx = 0,

−1 −1
або
1 1
∫ ∫
2
2
(ax + bx + x)dx = 0, (ax + bx + c)xdx = 0,
−1 −1
звідки
( 3 2 ) 1
ax bx 2
+ + cx = a + 2c = 0, a = −3c,
3 2 3
−1
( 4 3 2 ) 1
ax bx cx 2
+ + = b = 0, b = 0.
4 3 2 3
−1
2
2
Отже, P 2 (x) = −3cx + c = c(1 − 3x ), де c — довільна стала.
2
1
Підбирають її, як правило, так, щоб P 2 (1) = 1 : c(1 − 3 · 1 ) = 1, c = − , тому P 2 (x) =
2
2
1 (3x − 1).
2
Многочлен P 3 (x) шукатимемо як лінійну комбінацію перших чотирьох функцій системи
3
2
(17.34): P 3 (x) = ax + bx + cx + d. Із системи рівнянь
1 1
∫ ∫
P 3 (x)P 0 (x)dx = 0, P 3 (x)P 1 (x)dx = 0,
−1 −1
1
∫
P 3 (x)P 2 (x)dx = 0, P 3 (1) = 1,
−1
3
5 3
знаходимо, що P 3 (x) = x − x.
2 2
5
2
3
4
Аналогічно будуємо P 4 (x) = 1 (35x − 30x + 3); P 5 (x) = 1 (63x − 70x + 15x) і т. д.
8 8
Ці многочлени ортогональні на відрізку [−1; 1]. Вони називаються многочленами Лежандра і
широко використовуються в математиці та фізиці.
123