Page 125 - 4443

Інтеграл Фур’є

l l
∫ ∞ ∫
1 1 ∑
= f(t)dt + f(t) cos α n (t − x)dt, (18.2)
2l l
−l n=1 −l
де α n = πn — хвильові числа функції f(x). Позначимо α n+1 − α n = π = ∆α n . Тоді формула
l l
(18.2) набере вигляду

 
l l
∫ ∞ ∫
1 1 ∑
f(x)= f(t)dt +  f(t) cos α n (t − x)dt ∆α n . (18.3)

2l π
n=1
−l −l
Перейдемо у (18.3) до границі при l→+∞. Але функція f(x) не залежить від l, тому lim f(x)=
l→+∞
f(x).
З умови (18.1) випливає, що перший доданок у правій частині формули (18.3) прямує до
нуля при l → +∞ :

l l
∫ ∫
1 1 Q
lim f(t)dt ≤ lim |f(t)|dt < lim = 0.
l→+∞ 2l l→+∞ 2l l→+∞ 2l
−l −l
Вираз у квадратних дужках формули (18.3) при довільному фіксованому l є функція від α n :

l
∫
f(t) cos α n (t − x)dt = φ(α n ),

−l
тому

 
l
∞ ∫ ∞
1 ∑ 1 ∑
f(x) = lim  f(t) cos α n (t − x)dt  ∆α n = lim φ(α n )∆α n .
π l→+∞ π l→+∞
n=1 n=1
−l
Знайдена сума нагадує інтегральну суму для функції φ(α), де α ∈ (0; +∞). При досить великих
значеннях l величина ∆α n = π стає дуже малою, а спектр хвильових чисел — дуже щільним.
l
Якщо l → +∞, то ∆α n → 0, тобто хвильові числа α n набувають всіх можливих значень від
0 до +∞; дискретний спектр хвильових чисел став неперервним, тому природно сподіватись,
що
∞
+∞ ∫
1 ∑ 1
f(x) = lim φ(α n )∆α n = φ(α)dα
π l→+∞ π
n=1
0
або
 
∞ +∞
∫ ∫
1
f(x) =  f(t) cos α(t − x)dt  dα. (18.4)
π
0 −∞
Знайдений інтеграл називається інтегралом Фур’є для функції f(x). Фур’є дістав його у 1811 р.
Точного доведення цієї формули ми не наводимо. Зазначимо лише, що формула (18.4) спра-
ведлива для всіх точок x, в яких функція f(x) неперервна. Якщо ж x 0 — точка розриву, то

 
∞ +∞
∫ ∫
1 f(x 0 + 0) + f(x 0 − 0)
 f(t) cos α(t − x)dt  dα = .
π 2
0 −∞
125