Page 130 - 4443
P. 130

Інтеграл Фур’є та перетворення Фур’є


               Аналогічно для непарної функції (або при непарному продовженні) з формули (18.9) дістанемо


                                                       √     +∞
                                                            ∫
                                                          2
                                                f(x) =          F S (α) sin αxdα,
                                                          π
                                                             0
               де
                                                          √    +∞
                                                               ∫
                                                            2
                                                 F S (α) =        f(t) sin αtdt.
                                                            π
                                                               0
               Функції F C (α) i F S (α) називаються відповідно косинус-перетворенням і синус-перетворенням
               Фур’є для функції f(x).
                   Функції F(α), F C (α), F S (α) називають також спектральною щільністю функції f(x). Тео-
               рія перетворень Фур’є широко використовується для розв’язування багатьох практичних задач,
               існують таблиці перетворень Фур’є, в яких наведено відповідні пари функцій f(x) і F(x).


                Приклад 18.3. Зобразити інтегралом Фур’є в комплексній формі функцію

                                                        
                                                           x
                                                        e ,    0 < x < ∞;
                                                        
                                                f(x) =    0,    −∞ < x < 0;
                                                        
                                                        
                                                          0, 5,  x = 0.



                 Розв’язання. За формулою (18.13) знайдемо перетворення Фур’є заданої функції


                                       +∞                ∞               +∞
                                       ∫                ∫               ∫
                                                                                            1
                                                            −t −iαt
                              F(α) =      f(t)e −iαt dt =  e e     dt =    e −t(1+iα) dt =      .
                                                                                         1 + iα
                                      −∞                0                0
                 Комплексна форма (18.17) інтеграла Фур’є у даному разі має вигляд

                                                               +∞
                                                              ∫     iαx
                                                            1      e
                                                   f(x) =               dα.
                                                           2π     1 + iα
                                                              −∞





























                                                              130
   125   126   127   128   129   130   131   132   133   134   135