Page 130 - 4443
P. 130
Інтеграл Фур’є та перетворення Фур’є
Аналогічно для непарної функції (або при непарному продовженні) з формули (18.9) дістанемо
√ +∞
∫
2
f(x) = F S (α) sin αxdα,
π
0
де
√ +∞
∫
2
F S (α) = f(t) sin αtdt.
π
0
Функції F C (α) i F S (α) називаються відповідно косинус-перетворенням і синус-перетворенням
Фур’є для функції f(x).
Функції F(α), F C (α), F S (α) називають також спектральною щільністю функції f(x). Тео-
рія перетворень Фур’є широко використовується для розв’язування багатьох практичних задач,
існують таблиці перетворень Фур’є, в яких наведено відповідні пари функцій f(x) і F(x).
Приклад 18.3. Зобразити інтегралом Фур’є в комплексній формі функцію
x
e , 0 < x < ∞;
f(x) = 0, −∞ < x < 0;
0, 5, x = 0.
Розв’язання. За формулою (18.13) знайдемо перетворення Фур’є заданої функції
+∞ ∞ +∞
∫ ∫ ∫
1
−t −iαt
F(α) = f(t)e −iαt dt = e e dt = e −t(1+iα) dt = .
1 + iα
−∞ 0 0
Комплексна форма (18.17) інтеграла Фур’є у даному разі має вигляд
+∞
∫ iαx
1 e
f(x) = dα.
2π 1 + iα
−∞
130