Page 122 - 4443

Ряди Фур’є

( 5iπx −5iπx ) )
e e
+ + + . . . .
5π 5π

Ряд Фур’є за ортогональною системою функцій

Нехай на відрізку [a; b] задано нескінченну систему функцій

φ 1 (x), φ 2 (x), . . . , φ n (x), . . . . (17.31)

Якщо для довільних n ̸= k
b
∫
φ n (x)φ k (x)dx = 0, (17.32)

a
а для n = k
b
∫
2
φ (x)dx = λ n , 0 < λ n < +∞, n = 1, 2, . . . , (17.33)
n
a
то система функцій (17.31) називається ортогональною на відрізку [a; b].

Приклад 17.6. Нижче наведено приклади ортогональних систем функцій.
1. Система функцій

1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx, . . .

ортогональна на відрізку [−π, π].
2. Система функцій
1, cos x, cos 2x, . . . , cos nx, . . . ,
ортогональна на відрізку [0, π].
3. Система функцій
πx πx 2πx 2πx
1, cos , sin , cos , sin , . . . ,
l l l l
ортогональна на відрізку [−l; l].
4. Системи функцій
πx 2πx πnx
1, cos , cos , . . . , cos , . . . ;
l l l
πx 2πx πnx
sin , sin , . . . , sin , . . . ;
l l l
ортогональні на відрізку [0; l].
5. Система функцій
sin x, sin 2x, . . . , sin nx

ортогональна на відрізку [0; π].
У цьому можна легко переконатися самостійно, обчисливши для кожної з наве-
дених систем інтеграли (17.32) і (17.33). ,

Не варто думати, що властивість ортогональності мають лише системи тригонометричних
функцій.

122