Page 128 - 4443

Інтеграл Фур’є та перетворення Фур’є

Зазначимо, що інтеграли Фур’є (18.10) і (18.11) аналогічні відповідним рядам Фур’є (17.10)
і (17.12) для парних і непарних функцій.

Приклад 18.2. Зобразити інтегралом Фур’є функцію


−x
e , 0 < x < +∞;

x
f(x) = −e , −∞ < x < 0;


0, x = 0.

Розв’язання. Ця функція задана на всій осі і кусково-монотонна на довільному скінченному відрізку
[−l; l], бо складається з двох неперервних частин і має один розрив першого роду при x = 0.
Переконаємось, що f(x) абсолютно інтегровна:

+∞ 0 +∞ a b
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
x
−x
x
−x
|f(x)|dx = e dx + e dx = lim e dx + lim e dx =
a→−∞ b→+∞
−∞ −∞ 0 ) 0

0 b

= lim e x − lim e −x = 2 < ∞.

a→−∞ b→+∞
a 0
Отже, задану функцію можна зобразити інтегралом Фур’є. Оскільки ця функція непарна, то за формулою
(18.9) маємо
 
∞ ∞
∫ ∫
2
f(x) =  e −t sin αtdt  sin αxdt.
π
0 0
Інтегруючи частинами, знаходимо
∞ ∞ ∞
∫ ∫ ∫
α
e −t sin αtdt = α − α 2 e −t sin αtdt; e −t sin αtdt = .
1 + α 2
0 0 0
Таким чином,
∞
∫
2 α sin αx
f(x) = dα, x ∈ (−∞, +∞).
π 1 + α 2
0

Інтеграл Фур’є в комплексній формі. Перетворення Фур’є

Нехай функція f(x) зображується інтегралом Фур’є за формулою (18.7). Скориставшись фор-
мулами Ейлера, дістанемо

∞ ∞
∫ ∫ iαx −iαx iαx −iαx
e + e e − e
f(x)= (A(α) cos αx + B(α) sin αx)dα = (A(α) + B(α) )dα =
2 2i
0 0
∞
∫
1
= ((A(α) − iB(α))e iαx + (A(α) + iB(α))e −iαx )dα. (18.12)
2
0
128