Page 126 - 4443
P. 126

Інтеграл Фур’є та перетворення Фур’є


                   Отже, коли функція f(x) визначена i абсолютно інтегровна на числовій осі і кусково-мо-
               нотонна на довільному скінченному проміжку, то для неї існує інтеграл Фур’є. У точках непе-
               рервності функції f(x) виконується рівність (18.4), а в точках розриву даної функції інтеграл
               Фур’є дорівнює середньому арифметичному її односторонніх границь.
                   Запишемо інтеграл Фур’є в іншому вигляді:
                                                                                             
                                      ∞   +∞                                ∞    +∞
                                     ∫    ∫                                ∫     ∫
                                   1                                     1
                           f(x) =           f(t) cos(αt − αx)dt   dα =           f(t) cos αtdt   ×
                                   π                                     π
                                     0   −∞                                 0   −∞
                                                                            
                                                         +∞   +∞
                                                        ∫     ∫
                                                      1
                                        × cos αxdα +            f(t) sin αtdt   sin αdα.                (18.5)
                                                      π
                                                         0   −∞
                   Введемо позначення
                                               +∞                          +∞
                                               ∫                           ∫
                                             1                           1
                                    A(α) =        f(t) cos αtdt, B(α) =       f(t) sin αtdt,              (18.6)
                                             π                           π
                                              −∞                          −∞
               тоді
                                                   ∞
                                                  ∫
                                           f(x) =    (A(α) cos αx + B(α) sin αx)dα.                       (18.7)

                                                   0
               Інтеграл Фур’є у формулі (18.7) подібний до ряду Фур’є: знак суми ряду Фур’є замінено знаком
               інтеграла, коефіцієнти a n та b n ряду замінено функціями A(α) та B(α). По аналогії з рядом
               Фур’є кажуть, що формула (18.7) дає розвинення функції f(x) на гармоніки з частотами α,
               що неперервно змінюються від 0 до +∞. Закон зміни амплітуд залежить від α і визначається
               формулами (18.6).


                Приклад 18.1. Зобразити інтегралом Фур’є функцію

                                                        
                                                        1,      0 < x < 1;
                                                        
                                                f(x) =    0, 5, x = 0, x = 1;
                                                        
                                                        
                                                          0,     x < 0, x > 1.



                 Розв’язання. Ця функція кусково-монотонна на будь-якому скінченному відрізку [−l; l], бо складається
                 з трьох неперервних частин:

                            f(x) = 0, −∞ < x < 0; f(x) = 1, 0 < x < 1; f(x) = 0, 1 < x < +∞.
                 Вона також абсолютно інтегровна на всій числовій осі:

                                    +∞              0          1       +∞
                                    ∫              ∫          ∫        ∫
                                       |f(x)|dx =     0 · dx +   dx +     0 · dx = 1 < +∞.

                                   −∞             −∞          0        1
                    Отже, таку функцію в точках її неперервності можна подати через інтеграл Фур’є. Згідно з формулою
                 (18.4) маємо
                                                             
                                           ∞    1                        ∞
                                          ∫    ∫                         ∫              1
                                        1                              1    sin α(t − x)
                                f(x) =           cos α(t − x)   dα =                   dα =
                                        π                              π         α      0
                                           0   0                         0


                                                              126
   121   122   123   124   125   126   127   128   129   130   131