Page 126 - 4443
P. 126
Інтеграл Фур’є та перетворення Фур’є
Отже, коли функція f(x) визначена i абсолютно інтегровна на числовій осі і кусково-мо-
нотонна на довільному скінченному проміжку, то для неї існує інтеграл Фур’є. У точках непе-
рервності функції f(x) виконується рівність (18.4), а в точках розриву даної функції інтеграл
Фур’є дорівнює середньому арифметичному її односторонніх границь.
Запишемо інтеграл Фур’є в іншому вигляді:
∞ +∞ ∞ +∞
∫ ∫ ∫ ∫
1 1
f(x) = f(t) cos(αt − αx)dt dα = f(t) cos αtdt ×
π π
0 −∞ 0 −∞
+∞ +∞
∫ ∫
1
× cos αxdα + f(t) sin αtdt sin αdα. (18.5)
π
0 −∞
Введемо позначення
+∞ +∞
∫ ∫
1 1
A(α) = f(t) cos αtdt, B(α) = f(t) sin αtdt, (18.6)
π π
−∞ −∞
тоді
∞
∫
f(x) = (A(α) cos αx + B(α) sin αx)dα. (18.7)
0
Інтеграл Фур’є у формулі (18.7) подібний до ряду Фур’є: знак суми ряду Фур’є замінено знаком
інтеграла, коефіцієнти a n та b n ряду замінено функціями A(α) та B(α). По аналогії з рядом
Фур’є кажуть, що формула (18.7) дає розвинення функції f(x) на гармоніки з частотами α,
що неперервно змінюються від 0 до +∞. Закон зміни амплітуд залежить від α і визначається
формулами (18.6).
Приклад 18.1. Зобразити інтегралом Фур’є функцію
1, 0 < x < 1;
f(x) = 0, 5, x = 0, x = 1;
0, x < 0, x > 1.
Розв’язання. Ця функція кусково-монотонна на будь-якому скінченному відрізку [−l; l], бо складається
з трьох неперервних частин:
f(x) = 0, −∞ < x < 0; f(x) = 1, 0 < x < 1; f(x) = 0, 1 < x < +∞.
Вона також абсолютно інтегровна на всій числовій осі:
+∞ 0 1 +∞
∫ ∫ ∫ ∫
|f(x)|dx = 0 · dx + dx + 0 · dx = 1 < +∞.
−∞ −∞ 0 1
Отже, таку функцію в точках її неперервності можна подати через інтеграл Фур’є. Згідно з формулою
(18.4) маємо
∞ 1 ∞
∫ ∫ ∫ 1
1 1 sin α(t − x)
f(x) = cos α(t − x) dα = dα =
π π α 0
0 0 0
126