Page 124 - 4443
P. 124
Інтеграл Фур’є та перетворення Фур’є
Послідовність дій ортогоналізації, подібну до тієї, яку ми виконали над системою функцій
(17.34) на відрізку [−1; 1], можна повторити для довільної системи лінійно незалежних фун-
кцій на довільному інтервалі, якщо інтеграли від квадратів цих функцій на взятому інтервалі є
збіжними.
Нехай функція f(x) розвивається в ряд за функціями ортогональної системи (17.31)
∞
∑
f(x) = c n φ n (x). (17.35)
n=1
Вважатимемо ряд (17.35) рівномірно збіжним на відрізку [a; b]. Визначимо коефіцієнти c n .
Помножимо обидві частини рівності (17.34) на φ n (x) і результат почленно проінтегруємо. Вра-
ховуючи рівності (17.32) і (17.33), дістанемо
b b
∫ ∫
2
f(x)φ n (x)dx = c n φ (x)dx,
n
a a
звідки
b
∫
f(x)φ n (x)dx
a
c n = . (17.36)
b
∫
2
φ (x)dx
n
a
Розглянутий ряд (17.35) називається рядом Фур’є функції f(x) за системою ортогональних
функцій (17.31), а коефіцієнти c n цього ряду, обчислені за формулами (17.36) — коефіцієнтами
Фур’є функції f(x) за системою функцій (17.31).
Ряди Фур’є за системами ортогональних функцій (їх називають ще узагальненими рядами
Фур’є) використовуються при розв’язуванні багатьох практичних задач, зокрема задач матема-
тичної фізики.
Тема 18. Інтеграл Фур’є та перетворення Фур’є
Вище було показано, що довільну кусково-монотонну функцію, визначену на довільному
скінченному проміжку, можна розвинути в ряд Фур’є, тобто зобразити нескінченною сумою
простих гармонік. Чи не можна дістати таке саме розвинення на гармоніки чи подібне до нього
для неперіодичних функцій, заданих на нескінченному проміжку (−∞; +∞)? Виявляється, що
це можна зробити за допомогою інтеграла Фур’є.
Інтеграл Фур’є
Нехай неперіодична кусково-монотонна функція f(x), яка задана на нескінченному проміжку
(−∞; +∞), абсолютно інтегровна на ньому, тобто
+∞
∫
|f(x)|dx = Q < ∞. (18.1)
−∞
Тоді на довільному скінченному проміжку (−l; l) цю функцію можна розвинути в ряд Фур’є
(17.19). Підставляючи в цей ряд значення коефіцієнтів a 0 , a n , b n з формул (17.21) дістанемо
l l
∫ l ∫
1 ∑ 1
f(x) = f(t)dt + (f(t) cos α n t cos α n x + f(t) sin α n t sin α n x)dt =
2l l
n=1
−l −l
124