Page 124 - 4443
P. 124

Інтеграл Фур’є та перетворення Фур’є


                   Послідовність дій ортогоналізації, подібну до тієї, яку ми виконали над системою функцій
               (17.34) на відрізку [−1; 1], можна повторити для довільної системи лінійно незалежних фун-
               кцій на довільному інтервалі, якщо інтеграли від квадратів цих функцій на взятому інтервалі є
               збіжними.
                   Нехай функція f(x) розвивається в ряд за функціями ортогональної системи (17.31)
                                                              ∞
                                                             ∑
                                                      f(x) =     c n φ n (x).                            (17.35)
                                                             n=1
                   Вважатимемо ряд (17.35) рівномірно збіжним на відрізку [a; b]. Визначимо коефіцієнти c n .
               Помножимо обидві частини рівності (17.34) на φ n (x) і результат почленно проінтегруємо. Вра-
               ховуючи рівності (17.32) і (17.33), дістанемо
                                                b                     b
                                               ∫                    ∫
                                                                         2
                                                  f(x)φ n (x)dx = c n  φ (x)dx,
                                                                         n
                                               a                     a
               звідки
                                                           b
                                                          ∫
                                                            f(x)φ n (x)dx
                                                           a
                                                     c n =                .                              (17.36)
                                                             b
                                                             ∫
                                                                2
                                                               φ (x)dx
                                                                n
                                                             a
                   Розглянутий ряд (17.35) називається рядом Фур’є функції f(x) за системою ортогональних
               функцій (17.31), а коефіцієнти c n цього ряду, обчислені за формулами (17.36) — коефіцієнтами
               Фур’є функції f(x) за системою функцій (17.31).
                   Ряди Фур’є за системами ортогональних функцій (їх називають ще узагальненими рядами
               Фур’є) використовуються при розв’язуванні багатьох практичних задач, зокрема задач матема-
               тичної фізики.


                 Тема 18. Інтеграл Фур’є та перетворення Фур’є




                   Вище було показано, що довільну кусково-монотонну функцію, визначену на довільному
               скінченному проміжку, можна розвинути в ряд Фур’є, тобто зобразити нескінченною сумою
               простих гармонік. Чи не можна дістати таке саме розвинення на гармоніки чи подібне до нього
               для неперіодичних функцій, заданих на нескінченному проміжку (−∞; +∞)? Виявляється, що
               це можна зробити за допомогою інтеграла Фур’є.



                     Інтеграл Фур’є


               Нехай неперіодична кусково-монотонна функція f(x), яка задана на нескінченному проміжку
               (−∞; +∞), абсолютно інтегровна на ньому, тобто

                                                     +∞
                                                    ∫
                                                       |f(x)|dx = Q < ∞.                                  (18.1)
                                                    −∞
               Тоді на довільному скінченному проміжку (−l; l) цю функцію можна розвинути в ряд Фур’є
               (17.19). Підставляючи в цей ряд значення коефіцієнтів a 0 , a n , b n з формул (17.21) дістанемо
                                     l                l
                                   ∫            l    ∫
                                 1             ∑   1
                         f(x) =       f(t)dt +         (f(t) cos α n t cos α n x + f(t) sin α n t sin α n x)dt =
                                 2l                l
                                               n=1
                                   −l                −l
                                                              124
   119   120   121   122   123   124   125   126   127   128   129