Page 129 - 4443

Інтеграл Фур’є в комплексній формі. Перетворення Фур’є

Введемо позначення F(α) = (A(α) + iB(α))π. Згідно з формулами (18.6) дістанемо

+∞ +∞
∫ ∫
F(α) = f(t)(cos αt − i sin αt)dt = f(t)e −iαt dt. (18.13)
−∞ −∞

Аналогічно
+∞
∫
iαt
π(A(α) + iB(α)) = f(t)e dt = F(−α). (18.14)
−∞
Враховуючи формули (18.13) і (18.14), запишемо інтеграл (18.12) у вигляді

+∞
∫
1
f(x) = (F(α)e iαx + F(−α)e −iαx )dα. (18.15)
2π
0
Перетворимо інтеграл від другого доданку, виконавши заміну змінної α = −β :

+∞ −∞ 0 0
∫ ∫ ∫ ∫
F(−α)e −iαx dα = − F(β)e iβx dβ = F(β)e iβx dβ = F(α)e iαx dα,
0 0 −∞ −∞

тоді формула (118) набере вигляду

+∞
∫
1
f(x) = F(α)e iαx dα. (18.16)
2π
−∞
З формул (18.13) i (18.16) випливає, що
 
+∞ +∞
∫ ∫
1
f(x) =  f(t)e −iαt  e iαx dα. (18.17)
2π
−∞ −∞
Права частина формули (18.17) називається інтегралом Фур’є в комплексній формі для функції
f(x).

Означення 18.1. Функція F(α), яка визначається формулою (18.13), називає-
ться перетворенням Фур’є функції f(x); в свою чергу, функція f(x), зображена форму-

лою (18.16), називається оберненим перетворенням Фур’є для функції F(α). ✓

Якщо функція f(x) парна (або задана на проміжку (0; +∞) і продовжена на всю числову
вісь парним способом), то з формул (18.8) маємо

+∞
√ ∫
2
f(x) = F C (α) cos αxdα,
π
0
де
+∞
√ ∫
2
F C (α) = f(t) cos αtdt.
π
0

129