Page 121 - 4443

Комплексна форма ряду Фур’є

π π
∫ ∫
1 1
c −n = f(x)(cos nx + i sin nx)dx = f(x)e inx dx. (17.27)
2π 2π
−π −π
Враховуючи формули (17.23) i (17.26), запишемо ряд (17.21) у вигляді
∞
∑
f(x) = c 0 + (c n e inx + c −n e inx ),
n=1
або
+∞
∑
f(x) = c n e inx . (17.28)
n=−∞
Коефіцієнти цього ряду, згідно з формулами (17.25) і (17.27), можна записати у вигляді

π
∫
1
c n = f(x)e −inx dx, n = 0, ±1, ±2, . . . (17.29)
2π
−π
Рівність (17.28) називають комплексною формою ряду Фур’є, а числа c n , знайдені за форму-
лою (17.29) — комплексними коефіцієнтами Фур’є.
Аналогічно можна знайти комплексну форму ряду Фур’є на відрізку [−l; l] :
l
+∞ ∫
∑ iπnx 1 iπnx
f(x) = c n e l ; c n = f(x)e − l dx, n = 0, ±1, ±2, . . . (17.30)
2l
−∞
−l
iπnx
Члени цього ряду c n e l називають гармоніками, коефіцієнти c n — комплексними амплітудами
+∞
∑
гармонік, а числа α n = πn , (n = 0, ±1, ±2, . . .) — хвильовими числами функції f(x) = c n e iα nx .
l
−∞
Сукупність хвильових чисел називається спектром. Якщо ці числа відкладати на числовій
осі, то дістанемо дискретну множину точок. Відповідний цій множині спектр називають дис-
кретним спектром.

Приклад 17.5. Написати ряд Фур’є в комплексній формі для функції f(x) з
періодом 2l = 2, якщо
{
0, −1 < x < 0;
f(x) =
1, 0 ≤ x ≤ 1.

Розв’язання. За формулами (17.30) маємо

1

∫ −iπnx 1 −πn
1 e e − 1
c n = e −iπnx dx = − = − =
2 2iπn 0 2iπn
0
n
e −iπn − 1 cos(−πn) + i sin(−πn) − 1 (−1) − 1
= i = = i.
2πn 2πn 2πn
Оскільки задана функція кусково-монотонна, то у всіх точках неперервності цієї функції справедлива рів-
ність

+∞ n (( iπx −iπx ) ( 3iπx −3iπx )
∑ (−1) − 1 e e e e
f(x) = i e iπnx = l + + + +
2πn π π 3π 3π
n=−∞

121