Page 118 - 4443

Ряди Фур’є

Розв’язання. Ця функція неперервна на всій числовій осі, парна і має період 2l = 2, тому її можна
подати через ряд Фур’є вигляду (17.19). Враховуючи, що задана функція парна і l = 1, згідно з формулами
(17.19) і (17.20), маємо

l l l
∫ ∫ ∫
2 2 2 πnx
2
a 0 = f(x)dx = 2 x dx = ; a n = f(x) cos dx =
l 3 l l
0 0 0
1
∫ 2
u = x dv = cos πnxdx
2
= 2 x cos πnxdx = 1 =
du = 2xdx v = πn sin πnx
0
 
1 1
1 ∫ ∫
x 2 2 4
= 2  sin πnx − x sin πnxdx  = − x sin πnxdx =

πn πn πn
0
0 0
 
1
1 ∫
u = x dv = sin πnxdx 4 x 1
= 1 = −  − cos πnx + cos πnxdx  =

cos πnx
du = dx v = − πn πn πn
πn 0
0
1
4x 4(−1) n
= cos πnx = ; b n = 0;
2 2
2 2
π n π n
0
∞ n
1 4 ∑ (−1) 1
f(x) = + cos πnx = +
3 π 2 n 2 3
n=1
( )
4 cos πx cos 2πx cos 3πx cos 4πx
+ − + − + − . . . , (−∞ < x < +∞).
π 2 1 2 2 2 3 2 4 2
Ряди Фур’є для функцій заданих на відрізку [0;l] або на відрізку
[a;b]
Нехай треба розвинути в ряд Фур’є функцію f(x) задану на відрізку [0; l]. Ми можемо довільним
способом продовжити функцію f(x) на відрізок [−l; 0], але так, щоб утворена на відрізку [−l; l]
нова функція збігалась з функцією f(x) при x ∈ [0; l] і була кусково-монотонною (покладемо,
наприклад, F(x) = 0 при x ∈ [−l; 0) і F(x) = f(x) при x ∈ [0; l]).
Розвинувши функцію F(x) в ряд Фур’є на відрізку [−l; l], дістанемо шуканий ряд функції
f(x) при x ∈ [0; l]. Зокрема, функцію f(x) можна продовжити парним способом (рис. 17.1) на
відрізок [−l; 0]. Тоді графік функції F(x), x ∈ [−l; l] буде симетричним відносно осі Oy, а її ряд
Фур’є міститиме лише косинуси.
Якщо ж f(x) продовжити на відрізок [−l; 0] непарним способом (рис. 17.2), то графік фун-
кції F(x), x ∈ [−l; l] буде симетричним відносно точки x = 0, а її ряд Фур’є міститиме лише
синуси.
Таким чином, якщо функцію f(x), яка задана на відрізку [0; l] можна розвинути в ряд Фур’є,
то таких рядів існує безліч. Особливо важливими для застосування є розвинення функції f(x)
в ряд синусів і ряд косинусів.
Коли функція f(x) задана на відрізку [a, b], де a < b, 0 < |a|, |b| < ∞, то задача подання
такої функції через ряд Фур’є зводиться до розглянутої вище.

118