Page 117 - 4443

Ряд Фур’є для 2l-періодичної функції

Ця рівність виконується на всій числовій осі, тому що задана функція неперервна для всіх дійсних

значень x.
б) Функція φ(x) непарна, тому, згідно з формулами (17.12) і (17.13), маємо

π π
∫ ∫ π
2 2 2 2
n
b n = φ(x) sin nxdx = sin nxdx = − cos nx = − ((−1) − 1);
π π πn 0 πn
0 0
∞ n ( )
2 ∑ 1 − (−1) 4 sin x sin 3x sin 5x
φ(x) = sin nx = + + + . . . . (17.16)
π n π 1 3 5
n=1
Ця рівність справедлива у всіх точках x ∈ (−∞, +∞), крім точок розриву. В точках розриву
x = 0, ±π, ±2π, ±3π, . . . сума знайденого ряду дорівнює нулю.

Ряд Фур’є для 2l-періодичної функції

Нехай функція f(x) визначена на відрізку [−l; l] має період 2l (l — довільне додатне число) і є
на відрізку [−l; l] кусково-монотонною.
Розвинемо її в ряд Фур’є. Виконаємо заміну змінної за формулою x = lt і розглянемо фун-
( ) π
кцію φ(t) = f lt .
π
Ця функція визначена на відрізку [−π; π] і кусково-монотонна на ньому.
Розвинемо функцію φ(t) на відрізку [−π; π] в ряд Фур’є:
∞
∑
a 0
φ(t) = + (a n cos nt + b n sin nt), (17.17)
2
n=1
π π π
∫ ∫ ∫
1 1 1
a 0 = φ(t)dt, a n = φ(t) cos ntdt, b n = φ(t) sin ntdt. (17.18)
π π π
−π −π −π
π
Повернемось до змінної x. При t = πx , dt = dx формули (17.17) і (17.18) набирають вигляду
l x
∞ (
∑ πnx πnx )
a 0
f(x) = + a n cos + b n sin , (17.19)
2 l l
n=1
l l l
∫ ∫ ∫
1 1 πnx 1 πnx
a 0 = f(x)f(x)dx, a n = f(x) cos dx, b n = f(x) sin dx. (17.20)
l l l l l
−l −l −l
Ряд (17.19) і є рядом Фур’є для функції f(x) з періодом 2l. Коефіцієнти цього ряду знаходять
за формулами (17.20). Зауважимо, що всі теореми, які справджуються для рядів Фур’є 2π-
періодичних функцій, зберігаються і для рядів Фур’є 2π-періодичних функцій. Зокрема, спра-
ведливими залишаються достатні умови для розвинення функції в ряд Фур’є, зауваження про
можливість обчислювати коефіцієнти ряду Фур’є, інтегруючи її по довільному відрізку, дов-
жина якого дорівнює періоду, а також особливості рядів Фур’є для парних і непарних функцій.

Приклад 17.3. Зобразити рядом Фур’є функцію
2
f(x) = x , −1 ≤ x ≤ 1, f(x + 2) = f(x), x ∈ (−∞, +∞).

117