Page 116 - 4443

Ряди Фур’є

функція f(x) парна, то її ряд Фур’є має вигляд

∞
∑
a 0
f(x) = + a n cos nx, (17.10)
2
n=1
де
π π
∫ ∫
2 2
a 0 = f(x)dx, a n = f(x) cos nxdx. (17.11)
π π
0 0
Якщо функція f(x) непарна, то її ряд Фур’є має вигляд
∞
∑
f(x) = b n sin nx, (17.12)
n=0
де
π
∫
2
b n = f(x) sin nxdx. (17.13)
π
0
Для доведення формул (17.10)-(17.13) зазначимо спочатку, що коли функція φ(x) інтегровна
на відрізку [−l; l], то
l l
∫ ∫
φ(x)dx = 2 φ(x)dx, (17.14)
−l 0
якщо φ(x) парна, і
l
∫
φ(x)dx = 0, (17.15)
−l
якщо φ(x) непарна.
З формул (17.14) і (17.15) дістаємо формули (17.11) і (17.13). Зазначимо, що ряди (17.11) і
(17.13) відображають характер функції φ(x). Ряд Фур’є для парної функції містить лише коси-
нуси (парні функції), а ряд Фур’є для непарної функції містить лише синуси (непарні функції).

Приклад 17.2. Розвинути в ряд Фур’є 2π-періодичні функції
а) f(x) = |x|, −x ≤ x ≤ x;
{
−1, −π ≤ x < 0;
б) φ(x) = ,
1, 0 ≤ x < π.

Розв’язання. Задані функції є кусково-монотонні, тому можуть бути розвинені в ряди Фур’є.
а) Оскільки функція f(x) парна, то, користуючись формулами (17.10) і (17.11), дістанемо

π π
∫ ∫
2 2
a 0 = f(x)dx = xdx = π;
π π
0 0
π π
∫ ∫ ( ) π
2 2 2 x sin x cos nx 2
n
a n = f(x) cos nxdx = x cos nxdx = + = ((−1) − 1);
π π π n n 2 0 πn 2
0 0
∞
n
π 2 ∑ (−1) − 1 π 4 ( cos x cos 3x cos 5x )
f(x) = + cos nx = − + + + . . . .
2 π n 2 2 π 1 2 3 2 5 2
n=1
116