Page 7 - 4443

Кратні інтеграли

Тема 1. Подвійні інтеграли

Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла

1. Задача про об’єм циліндричного тіла. Нехай маємо тіло, обмежене зверху поверхнею z =
f(x, y) ≥ 0, знизу — замкненою обмеженою областю D площини Oxy, з боків — циліндричною
поверхнею, напрямна якої збігається з межею області D, а твірні паралельні осі Oz (рис. 1.1).
Таке тіло називають циліндричним.

z z = f(x, y)

f(P i )

y
0
∆S i

P i
x
D

Рисунок 1.1 – Задача про об’єм циліндричного тіла

Обчислимо його об’єм V. Для цього довільним способом розіб’ємо область D на n частин
D i , які не мають спільних внутрішніх точок, і площі яких дорівнюють ∆S i , i = 1, 2, . . . , n. У
кожній області D i виберемо довільну точку P i (ξ i , η i ), знайдемо значення функції в цій точці
f(ξ i , η i ) і обчислимо добуток f(ξ i , η i )∆S i . Цей добуток дорівнює об’єму циліндричного стов-
пчика з твірними, паралельними осі Oz, основою D i і висотою f(P i ) = f(ξ i , η i ). Усього таких
стовпчиків є n і сума їхніх об’ємів
n
∑
V n = f(ξ i , η i )∆S i (1.1)
i=1
наближено дорівнює об’єму циліндричного тіла V ≈ V n . Це наближення тим точніше, чим
більше число n і чим менші розміри областей D i . Назвемо діаметром d(G) замкненої обме-
женої області G найбільшу відстань між двома точками межі цієї області. Позначимо через λ

7