Page 114 - 4443

Ряди Фур’є

Зауваження 17.4. Умови, які накладаються на функцію f(x) при розвиненні її в
ряд Фур’є, значно простіші, ніж при розвиненні її у степеневий ряд. Дійсно, якщо функція

розвивається в ряд Тейлора, то вона на всьому інтервалі збіжності є не тільки неперервною,
а й скільки завгодно разів диференційовною. Для розвинення функції в ряд Фур’є у цьому зовсім
немає потреби. Згідно з теоремою 17.2 достатньо, щоб лише функція була неперервною або
навіть мала на відрізку скінченне число точок розриву першого роду.
З цього випливає, що клас функцій, які можна подати рядом Фур’є значно ширший, ніж

клас функцій, які можна подати рядом Тейлора.

Зауваження 17.5. Якщо функція f(x) розвивається в ряд Фур’є, то частинні суми
S (x) цього ряду (по аналогії з многочленами Тейлора їх називають многочленами Фур’є)
n
дають змогу знайти наближення цієї функції

n
a 0 ∑
f(x) ≈ S (x) = + (a cos kx + b sin kx).
n
k
k
2
k=1
Похибка цієї формули зменшується зі збільшенням числа n. Проте оцінити цю похибку
набагато складніше, ніж для многочленів Тейлора, і ми цим займатися не будемо.

Приклад 17.1. Розвинути в ряд Фур’є 2π-періодичну функцію: а) f(x) = π + x,
{
0, −π < x < 0;
x ∈ (−π, π]; б) φ(x) =
x, 0 ≤ x ≤ π.

Розв’язання. Задані функції кусково-монотонні на проміжку (−π, π], тому їх можна зобразити рядом
Фур’є. Отже, задача зводиться до знаходження коефіцієнтів Фур’є.
а) Маємо

π π

∫ ∫ 2 π
1 1 1 (π + x)
2
a 0 = f(x)dx = (π + x) dx = = 2π;
π π π 2
−π
−π −π
π π
∫ ∫
1 1
a n = f(x) cos nxdx = (x + π) cos nxdx =
π π
−π −π
 
π
π ∫
u = x + π; dv = cos nxdx 1 x + π 1
= 1 =  sin nx − sin nxdx  = 0;
du = dx; v = sin nx π n n
n −π
−π
π π
∫ ∫
1 1
b n = f(x) sin nxdx = (x + π) sin nxdx =
π π
−π −π
 
π
π ∫
u = x + π; dv = sin nxdx 1 x + π 1
= =  − cos nx + cos nxdx  =
1
du = dx; v = − cos nx π n n
n −π
−π
114