Page 113 - 4443

Тригонометричний ряд Фур’є. Коефіцієнти Фур’є

З’ясуємо умови, за яких знак відповідності у формулі (17.9) можна замінити знаком рівності,
тобто за яких ряд Фур’є функції є збіжним і має своєю сумою саме функцію f(x).

Теорема 17.2.

(достатня умова подання функції через її ряд Фур’є) Нехай періодична функція f(x) з
періодом 2π є кусково-монотонна і обмежена на відрізку [−π; π]. Тоді ряд Фур’є фун-
кції f(x) є збіжним на всій числовій осі. Сума S(x) знайденого ряду дорівнює значенню
функції f(x) в усіх точках неперервності функції f(x); якщо x 0 — точка розриву функції
f(x 0 −0)+f(x 0 +0)
f(x), то S(x 0 ) = , тобто сума ряду Фур’є в точці x 0 дорівнює середньо-
2
му арифметичному односторонніх границь функції f(x) в цій точці; в кінцевих точках
f(−π+0)+f(π+0)
відрізка [−π; π] сума ряду Фур’є набуває значень S(−π) = S(π) = . ⋆
2
Приймемо цю теорему без доведення.

Зауваження 17.1. Якщо ряд Фур’є збігається до функції S(x), то ця функція 2π-
періодична, бо такими є всі члени ряду (17.4). Тому, якщо ряд (17.4) збіжний до функції

f(x) на відрізку [−π; π], то він збігатиметься до цієї самої функції на всій числовій осі
(−∞, +∞); при цьому f(x + 2π) = f(x). Отже, функцію, задану на відрізку [−π; π]
та періодично продовжену на всю числову пряму, можна подати через суму ряду Фур’є.

Зауваження 17.2. При періодичному продовженні функції f(x), x ∈ [−π; π] на

всю числову вісь знайдена функція буде або неперервною в точках ±(2n − 1)π, n ∈ N, або
розривною в цих точках.
Неперервність можлива лише, якщо f(π) = f(−π). У цьому разі сума ряду Фур’є
дорівнює S(±(2n − 1)π) = f(π) = f(−π). Якщо ж f(π) ̸= f(−π), то ми може-

мо залишити без зміни значення функції на проміжку (−π; π] і періодично з періодом 2π
продовжити її на всю числову вісь.
При цьому в точках ±(2n − 1)π, n ∈ N, можуть виникнути точки розриву першого
1
роду, в яких сума ряду Фур’є дорівнює S(±(2n − 1)π) = (f(π) + f(−π)).
2

Зауваження 17.3. Для довільної інтегровної 2π-періодичної функції φ(x) викону-
π a+2π
∫ ∫
ється рівність φ(x)dx = φ(x)dx для будь-якого числа a ∈ (−∞; +∞). У
−π a
зв’язку з цим коефіцієнти ряду Фур’є можна знайти, обчислюючи інтеграли (17.5), (17.7),
a+2π
∫
(17.8) по довільному відрізку, довжина якого дорівнює періоду, тобто a = 1 f(x)dx;
0
π
a
a+2π a+2π
∫
∫
a = 1 f(x) cos nxdx, b = 1 f(x) sin nxdx.
n
n
π
π
a a
У випадку, коли 2π-періодична функція задана на проміжку [0; 2π], ці формули спрощу-
ють задачу знаходження коефіцієнтів ряду Фур’є.

113