Page 115 - 4443

Ряд Фур’є для парних і непарних функцій

1 2π(−1) n 2 n+1
= − = (−1) .
π n n
Підставивши знайдені коефіцієнти в ряд (17.4), дістанемо

∞ n=1
∑ (−1)
f(x) = π + 2 sin nx.
n
n=1
Ця рівність справедлива для всіх точок неперервності заданої функції, тобто при x ̸= ±(2n − 1)π,
n ∈ N. У точках ±(2n − 1)π сума ряду Фур’є дорівнює π (півсума односторонніх границь в цих
точках).
Зазначимо, що задана періодична функція f(x) збігається з функцією y = π + x лише на проміжку
(−π, π], а зовні проміжку (−π, π] ці функції різні.
б) Знаходимо коефіцієнти Фур’є функції φ(x) :

 
0 π
∫ ∫
1 π
a 0 =  0 · dx + xdx  = ;
π 2
−π 0
 
0 π
∫ ∫ π n
1 cos nx (−1) − 1
a n =  0 · cos nxdx + x cos nxdx  = = ;
π πn 2 0 πn 2
−π 0
 
0 π
∫ ∫ π n
1 x cos nx (−1) + 1
b n =  0 · sin nxdx + x sin nxdx  = − = .
π πn 0 n
−π 0
Отже, ряд Фур’є заданої функції має вигляд
∞ ( n n )
π ∑ (−1) − 1 (−1)
φ(x) = + cos nx + sin nx =
4 πn 2 n
n=1
( ) ( )
π 2 cos x cos 3x cos 5x sin x sin 2x sin 3x
= − + + + . . . + − + − . . . .
4 π 1 2 3 2 5 2 1 2 3
Знайдений ряд збіжний до функції φ(x) при всіх x ̸= ±(2n − 1)π, n ∈ N. У точках x =
±(2n − 1)π сума ряду дорівнює . Зауважимо, що якби
π
2

0, −π < x < 0;

φ 1 (x) = x, 0 ≤ x < π,

 π , x = ±π,
2
то знайдений у цьому прикладі ряд Фур’є був би збіжним до φ 1 (x) на всій числовій осі.

Ряд Фур’є для парних і непарних функцій

Нехай функцію f(x) можна подати на відрізку [−π; π] рядом Фур’є. Покажемо, що обчисле-
ння коефіцієнтів цього ряду спрощується, якщо функція f(x) є парною, або непарною. Якщо

115