Page 112 - 4443

Ряди Фур’є

звідки
π π π
∫ ∫ ∫
a 0 1
f(x)dx = dx = a 0 π, a 0 = f(x)dx, (17.5)
2 π
−π −π −π
бо
π π
∫ ∫
cos nxdx = 0, sin nxdx = 0.

−π −π
Помножимо обидві частини рівності (17.4) на cos nx і проінтегруємо одержаний ряд почлен-
но на відрізку [−π; π] :

 
π π π π
∫ ∫ ∞ ∫ ∫
∑
a 0
cos kxdx = cos kxdx +  a n cos nx cos kxdx + b n sin nx cos kxdx  . (17.6)
2
−π −π n=1 −π −π
Проте
π π π
∫ ∫ ∫
cos kxdx = 0, cos nx cos kxdx = 0, k ̸= n, cos kx sin nxdx = 0,
−π −π −π
тому з рівності (17.6) при k = n дістанемо

π π
∫ ∫
2
cos nxdx = a n π;
f(x) cos nxdx = a n
−π −π
π
∫
1
a n = f(x) cos nxdx, n = 1, 2, . . . (17.7)
π
−π
Аналогічно, помноживши рівність (17.4) на sin kx і проінтегрувавши почленно на відрізку
[−π; π], знайдемо
π
∫
1
b n = f(x) sin nxdx, n = 1, 2, . . . (17.8)
π
−π
Нехай f(x) — інтегровна функція на відрізку [−π; π]. Числа a 0 , a n , b n , які визначаються форму-
лами (17.5), (17.7), (17.8), називаються коефіцієнтами Фур’є функції f(x). Тригонометричний
ряд (17.3), коефіцієнтами якого є коефіцієнти Фур’є функції f(x), називають рядом Фур’є цієї
функції і записують
∞
∑
a 0
f(x) + (a n cos nx + b n sin nx). (17.9)
2
n=1
Знак відповідності означає, що інтегровній на відрізку [−π; π] функції f(x) поставлено у
відповідність її ряд Фур’є.
Аналогічне явище спостерігалось і для рядів Тейлора. Доведений вище результат можна
тепер сформулювати так.

Теорема 17.1.

Якщо функцію f(x) можна подати на відрізку [−π; π] у вигляді рівномірно збіжного на
цьому відрізку тригонометричного ряду (17.8), то цей тригонометричний ряд єдиний
і є рядом Фур’є для функції f(x). ⋆

112