Page 111 - 4443

Тригонометричний ряд Фур’є. Коефіцієнти Фур’є

де a — амплітуда коливання; ω — циклічна частота; φ 0 — початкова фаза. Основним періодом
функції (17.1) є T = 2π ; тобто одне повне коливання відбувається за проміжок часу 2π . Функція
ω
ω
(17.1) (та її графік) називається простою гармонікою.
Просту гармоніку зображає також функція

x(t) = A cos ωt + B sin ωt. (17.2)

Дійсно,

( )
√ A B
2
x(t) = A cos ωt + B sin ωt = A + B 2 √ cos ωt + √ sin ωt =
2
2
A + B 2 A + B 2
= a sin(ωt + φ 0 ),
√ A B
2
2
a = A + B , √ = sin φ 0 , √ = cos φ 0 .
2
2
A + B 2 A + B 2
Коливання, утворені внаслідок накладання кількох простих гармонік, називають складними
гармонічними коливаннями. Наприклад, функція
φ(t) = a 1 sin(t + φ 1 ) + a 2 sin(2t + φ 1 ) + · · · + a n sin(nt + φ n )

задає складне гармонічне коливання і є результатом накладання n простих гармонік. Перша з
цих гармонік має період 2π, друга — 2π , третя — 2π і т. д., n-а — 2π , тому загальний період T
2 3 n
функції φ(t) дорівнює 2π.
Природно, постає обернена задача: чи не можна періодичний рух, заданий деякою періо-
дичною функцією, подати як суму простих гармонік? Виявляється, що цього взагалі кажучи,
зробити не можна, якщо обмежитися скінченною сумою простих гармонік. Якщо ж ввести не-
скінченні суми простих гармонік, тобто тригонометричні ряди, то практично кожну періодичну
функцію можна розкласти на прості гармоніки.

Тригонометричний ряд Фур’є. Коефіцієнти Фур’є

Ряд виду

a 0
= a 1 cos x + b 1 sin x + a 2 cos 2x + b 2 sin 2x + · · · + a n cos nx + b n sin nx + . . . =
2
∞
∑
a 0
= + (a n cos nx + b n sin nx) (17.3)
2
n=1
називається тригонометричним рядом, а дійсні числа a 0 , a n , b n (n = 1, 2, . . .) — його коефіцієн-
тами. Вільний член в сумі (17.3) для зручності записують у вигляді a 0 .
2
Припустимо, що ряд (17.3) на відрізку [−π; π] рівномірно збіжний до функції f(x) :

∞
∑
a 0
f(x) = + (a n cos nx + b n sin nx). (17.4)
2
n=1
Оскільки члени ряду (17.3) є неперервними функціями, то його сума f(x) є також неперервною
функцією. Проінтегрувавши почленно ряд (17.4) на відрізку [−π; π] дістанемо

 
π π π π
∫ ∫ ∞ ∫ ∫
∑
a 0
f(x)dx = dx +  a n cos nxdx + b n sin nxdx  ,
2
−π −π n=1 −π −π
111