Page 110 - 4443

Ряди Фур’є

Сума ряду (16.8) є комплексною функцією комплексної змінної z. Аналогічно визначаються
тригонометричні функції

z 3 z 5 z 2n+1
sin z = z − + − · · · + (−1) n + · · · , |z| ≤ ∞; (16.9)
3! 5! (2n + 1)!

z 2 z 4 z 2n
cos z = 1 − + − . . . + (−1) n + . . . , |z| < ∞. (16.10)
2! 4! (2n)!
z
Між показниковою функцією e і тригонометричними функціями sin z і cos z існує простий
зв’язок. Підставимо в ряд (16.8) значення iz замість z і згрупуємо окремо доданки, які містять
множник i і які цього множника не містять:

iz (iz) 2 (iz) 3 (iz) 4 (iz) 5 (iz) 6 (iz) 7
iz
e = 1 + + + + + + + + . . . =
1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!
z z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 7
= 1 + i − − i + + i − − i + . . . =
1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!
( 2 4 6 ) ( 3 5 7 )
z z z z z z
= 1 − + − + . . . + i z − + − + . . . .
2! 4! 6! 3! 5! 7!
Порівнюючи ряди в дужках з рядами (16.9) і (16.10), дістаємо

iz
e = cos z + i sin z. (16.11)

Аналогічно, підставляючи в ряд (16.8) замість z значення −iz, дістаємо

e −iz = cos z − i sin z. (16.12)

Формули (16.11) і (16.12) називаються формулами Ейлера. Якщо почленно додати (відняти)
рівності (16.11) і (16.12), то матимемо іншу форму запису формул Ейлера:

iz
iz
e + e −iz e − e −iz
cos z = , sin z = .
2 2i
Тема 17. Ряди Фур’є

Гармонічні коливання

У природі і техніці дуже поширені процеси, які через певні проміжки часу повторюються. Такі
процеси називаються періодичними. Прикладами періодичних процесів можуть бути механі-
чні та електромагнітні коливання, періодичні рухи в теорії пружності, акустиці, радіотехніці,
електротехніці тощо.
Моделюються періодичні процеси за допомогою періодичних функцій. Нагадаємо, що фун-
кцій f(x) називається періодичною з періодом T > 0, якщо вона визначена на всій числовій осі
і для неї виконується рівність f(x + T) = f(x), x ∈ R.
Періодична функція x = f(t) зображає періодичний рух, або коливання точки, що має в
момент часу t координату x.
Найпростішим коливанням є просте гармонічне коливання, яке, як відомо, задається фун-
кцією
x(t) = a sin(ωt + φ 0 ), t ≥ 0, (17.1)

110